Figure sans paroles #5.4.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.4.9

    le 28 octobre à 09:44, par Sidonie

    ABCD est un quadrilatère circonscriptible. Les diagonales se coupent en E. L, M, N et R sont les centres des cercles inscrits dans ABE, BCE, CDE et DEA.
    Il faut démontrer que ces 4 points sont cocycliques.
    La figure nécessite trop de cercles, je divise la démonstration.
    G est le centre du cercle (G) inscrit dans ABCD, de même (H) et (I) sont inscrits dans ABD et CBD. Depuis le 5.4.8 on sait qu’ils sont tangents en F, point de (BD).
    J est l’intersection entre (AH) et (HI). Les tangentes externes communes à (G) et (H) se coupent en A, celles de (G) et (I) en C donc, avec le 6.2.3, les tangentes externes communes à (H) et (I) se coupent en J.
    F est le point de tangentes internes communes à (H) et (I) donc J est le conjugué harmonique de F par rapport aux centres H et I. Les droites (BJ), (BH), (BF) et (BI) forment un faisceau harmonique.
    (EL) et (EM) sont les bissectrices de (AC, BD) donc (EA), (EL), (EB) et (EM) est un faisceau harmonique qui a une droite commune (BE) et 3 points d’intersection J, L et M avec le précédent. N est le point d’intersection de (LM) et (BE). L, M et J sont alignés sinon (LM) couperait (BJ) et (EJ) en deux points qui seraient tous deux conjugués avec N ce qui est impossible.
    Naturellement on a aussi J, N et R alignés.
    Suite au message suivant.

    Document joint : fsp_5.4.9_debut.jpg
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  • 5.4.9

    le 28 octobre à 09:45, par Sidonie

    La figure s’enrichit de N et R alignés avec J, de (P) et (Q) cercles inscrits dans ABC et ADC. O est leur point de tangence. S et T sont les points de tangences de (L) et (M).
    Dans le triangle ABE on a ES = 0,5(EA + EB – AB) (longueur des bras de tangentes au cercle inscrit).
    Dans ABC : CO = 0,5(CA + CB – AB) et dans BCE : CT = 0,5(CE + CB – EB)
    TO = CO – CT = 0,5(CA + CB – AB – CE – CB + EB) = 0,5(CE + EB – AB) = ES.
    Donc [ST] et [EO] ont la même médiatrice. Or la médiatrice de [ST] passe par le milieu de [LM] qui est le centre du cercle qui passe par L, M et E (à cause de l’angle droit en E). O appartient donc au même cercle. De la même façon, les points N, R, E et O sont cocycliques.
    J est sur l’axe radical de ces deux cercles, il a donc même puissance c’est-à-dire JL.JM = JN.JR ce qui assure la cocyclité de L, M, N et R.

    Document joint : fsp_5.4.9_fin.jpg
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