Figure sans paroles #5.5.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.5.10

    le 9 mars 2020 à 16:01, par Hébu

    Un quadrilatère inscriptible $ABCD$, que ses diagonales divisent en triangles. On prend les centres des cercles inscrits dans ces triangles : $E$ (triangle $ADB$), $F$ (triangle $ABC$), $G$ (triangle $BCD$) et $H$ (triangle $ACD$.

    Et alors, $EFGH$ est un rectangle.

    .

    On a déjà rencontré un rectangle, à l’occasion de la figure 5.5.5. Celui-ci a ses côtés parallèles à celui-là !

    .

    Pour garder une figure aérée, je préfère en ôter les éléments inutiles — les diagonales, les circonférences. Et puis, pour trouver les centres des cercles inscrits, deux bissectrices suffisent. Je choisis en premier lieu la bissectrice du sommet du quadrilatère (exemple, pour le triangle $ABD$, je prends $AE$, bissectrice de $\widehat{BAD}$, puis $BE$, bissectrice de $\widehat{ABD}$)

    .

    Il faut alors montrer que les points $A, E, F, B$ sont cocycliques :

    je note $a, b...$ les valeurs des angles des sommets, et $u$ la valeur de $\widehat{DBA}$ ; alors

    • $\widehat{AEB}=\pi-\widehat{EAB}-\widehat{EBA}=\pi-a/2-\widehat{DBA}/2=\pi-a/2-u/2$
    • $\widehat{CDB} = d-\widehat{BDA} = d-(\pi-a-u) = ab$ \
      $\widehat{FAB} = \widehat{CAB}/2 = \widehat{CDB}/2$ \
      $\widehat{AFB} = \pi-b/2-\widehat{FAB} = \pi-b/2-(a-b+u)/2 = \widehat{AEB}$

    .
    d’où s’ensuit la cocyclicité.
    et $\widehat{AEF}=\pi-b/2$, $\widehat{EFB}=\pi-a/2$

    De même, $\widehat{BFG}=\pi-c/2$, etc.

    .
    et enfin $\widehat{EFG}=2\pi-(\pi-a/2)-(\pi-c/2)=(a+c)/2=\pi/2$

    .
    Comme d’habitude, preuve un peu poussive — mais simple

    Document joint : idm5-5-10.jpg
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