Comentario sobre el artículo

• 5.6.10

  le 18 de mayo de 2020 à 18:00, par Hébu

  Quatre points $A, B, C, D$ sur un cercle $c$. On place $E, F, G, H$ milieux des arcs $AB, BC, CD, DA$. On trace le cercle $c_E$ , de centre $E$ passant par $A$ et $B$, puis le cercle $c_F$ de centre $F$, passant par $B$ et $C$, etc.

  Ces cercles se recoupent en $J, K, L, M$.

  .
  Le quadrilatère $JKLM$ est un rectangle.

  .
  $EG$ et $FH$ se croisent au point $I$. L’angle $\widehat{HIE}$ est droit (on le calcule comme demi-somme des arcs $EH$ et $FG$, c’est à dire le quart de la circonférence complète. En vadrouillant dans les archives du blog, je suis tombé sur une figure 1.21, qui illustre cette propriété)

  A partir de là, je propose une figure plus simple.
  .
  Comme je ne sais pas mettre deux figures dans un même post, j’en ouvre un autre ensuite !

  Document joint : idm5-6-10-1.jpg
  Répondre à ce message
• 5.6.10

  le 18 de mayo de 2020 à 20:10, par Sidonie

  En fait on retrouve la figure du 5.5.10. Les angles $\widehat {AHJ}$ et $\widehat {AHB}$ ont la même bissectrice (HE) donc H,J et B sont alignés.

  Répondre à ce message
• 5.6.10

  le 19 de mayo de 2020 à 13:09, par Hébu

  Remarque très judicieuse ! C’est étonnant comme une figure peut en cacher une autre. D’où une preuve très courte...

  Répondre à ce message

• 5.6.10

  le 18 de mayo de 2020 à 18:03, par Hébu

  La suite.

  .
  Deux points $E$, $G$ sur un cercle. Des cercles de centre $E$ et $G$, $c_E$ et $c_G$ coupent le cercle initial $c$ en $A$ et $D$. $ED$ coupe le cercle $c_E$ en $J$, $AG$ coupe $c_G$ en $M$. On oublie le cercle de centre $H$ (c’est à dire qu’on définit $J$ comme l’intersection ci-dessus).

  Alors, $A, D, M, J$ sont cocycliques, et $(JM)$ et $(EG)$ sont parallèles. De plus le cercle $A,D,J,M$ a son centre en $H$.

  .
  En effet: dans le cercle $c$, $\widehat{AEJ}$ et $\widehat{DGM}$ interceptent le même arc $AD$, ils sont égaux, les triangles isocèles $EAJ$ et $GMD$ sont semblables.

  Les angles $\widehat{DMG}$ et $\widehat{AJE}$ sont donc égaux, et donc aussi $\widehat{DMA}$ et $\widehat{AJD}$ : $A,J,M,D$ sont cocycliques

  .
  Dans ce nouveau cercle, $\widehat{DJM}=\widehat{DAM}$ et dans $c$ $\widehat{DAM}=\widehat{DEG}$ : $(JM)$ et $(EG)$ sont parallèles.

  .
  Reste à montrer que le cercle qui passe par $A,J,M,D$ a son centre en $H$, milieu de l’arc $AD$ — c’est à dire qu’il est bien celui de la figure initiale.

  .
  La médiatrice de $AJ$ est bissectrice en $E$ du triangle isocèle $EJA$, elle coupe donc le cercle au milieu de l’arc $AD$. Même chose côté $GDM$: les deux médiatrices se coupent au centre du cercle, qui est donc le point $H$.

  Il est clair que le même raisonnement est valide pour les autres segments: ainsi $KL$ est parallèle à $EG$ et donc $JM$ et $KL$ sont parallèles. De même, $JK$ et $ML$ sont tous deux parallèles à $FH$.

  .
  Et puisque on a vu que $EG$ et $FH$ sont perpendiculaires, $JKLM$ est bien un rectangle.

  Document joint : idm5-6-10-2.jpg
  Répondre à ce message