Figure sans paroles #5.6.13

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.13

    le 9 juin 2020 à 11:26, par Sidonie

    ABCD est un quadrilatère inscrit dans le cercle de centre O. (AC)$\cap$(BD) = E. H,I,J et K sont les centres des cercles AOB, BOC, COD et DOA. Il s’agit de montrer que les droites (OE), (HJ) et (IK) sont concourantes.
    Cas particuliers : ABCD est un rectangle ou un trapèze isocèle. S’il est rectangle O et E sont confondus H,I,J et K sont sur les médianes qui se coupent en O. Si (AB)//(CD) alors H, E, O, J sont alignés et on se ramène à 2 droites sécantes.
    Cas général (AB)$\cap$(CD) = F et (AD)$\cap$(BC) = G. Les cercles (AOB) et (COD) se recoupent en L et les cercles (BOC) et (DOA) se recoupent en M . A’ et D’ sont les symétriques de A et D par rapport à O.
    (LB,LC) = (LB,LO) + (LO,LC) = (AB,AO) +(DO,DC) = (AB,AA’) + (DD’,DC) = $\frac {\pi}{2}$ - (A’A,A’B) +$\frac {\pi}{2}$ - (D’C,D’D) =
    = $\pi$ - (A’A,A’B) – (D’C,D’D) = (D’D,D’C) + (A’B,A’A) = (BD,BC) + (CB,CA) = (BD,CA) = (EB,EC)
    Ce qui prouve que E est sur le cercle (BOC) il est donc aussi sur (DOA) et L devient le point de Miquel du quadrilatère complet AECBGD dont on sait grâce à Hébu qu’il forme le triangle rectangle ELO.
    On démontre de la même façon que EMO est triangle rectangle et que E,L,O et M sont sur un cercle dont le centre est le milieu P de [EO].
    Les cercles (AOB), (COD) et (ELO) se coupent en O et L donc leurs centres H,P et J sont alignés et de manière identique I, P et K sont aussi alignés.

    Document joint : fsp_5.6.13.jpg
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