Figure sans paroles #5.6.14

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.14

    le 15 juin 2020 à 14:10, par Hébu

    La description de la figure est identique à la précédente, à condition de remplacer le point O par le point E (du coup, je copie/colle...) :

    ABCD est un quadrilatère inscrit dans le cercle de centre O. (AC)∩(BD) = E. H,I,J et K sont les centres des cercles AEB, BEC, CED et DEA. Il s’agit de montrer que les droites (OE), (HJ) et (IK) sont concourantes.

    .

    On peut décomposer en deux sous-problèmes, chacun concernant une paire de cercles et le segment qui joint leurs centres.

    Je garde donc les cercles AEB, CED, et le segment JH. Cela allège le dessin.

    Je note F le second point de concours des cercles AEB et CED.Il est clair que JH est perpendiculaire à EF, qu’il coupe en son milieu.

    .
    Maintenant, on sait, depuis 5.6.2, que EF et FO sont perpendiculaires : HJ et OF sont donc parallèles, de sorte que HJ coupe EO en son milieu (ce point centre du cercle qui passe par E, O, F, etc., qu’on a déjà rencontré également).

    Un raisonnement identique, mené pour les cercles CED-AED, montre que IJ coupe EO en son milieu.

    Et puisque ce milieu est unique, alors (OE), (HJ) et (IK) sont concourantes, le point d’intersection étant le centre du cercle qui passe par E, O, F.

    Document joint : idm5-6-14.jpg
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