Figure sans paroles #5.6.14

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.14

    le 15 juin 2020 à 20:22, par Sidonie

    Bonjour, pas plus simple puisqu’il y a quelques temps je n’ai pas posté un résultat qui arrive au résultat autrement. J’ajoute le point G pour obtenir (Q) le quadrilatère AEDG complété par B et C. M = (AB)$\cap$(OH) et N = (AC)$\cap$(OJ). P est le centre du cercle BGD et comme F est le point de Miquel de (Q) il existe un cercle dit de Miquel qui passe par les centres des cercles (ici P, H et J) et par le point de Miquel F. La propriété non posté c’est que O est aussi sur le cercle. D’ailleurs à l’époque j’avais aussi démontré que si c’étaient A,E,D et G qui étaient cocycliques alors le centre de leur cercle est aussi sur le cercle de Miquel.
    (OH) et (OJ) sont les médiatrices de [AB] et [CD] donc (OH,OJ) = (GB,GD) = (FB,FD) par cocyclité.
    Les cercles AEB et DEC se recoupent en F . (DB) est une sécante qui passe par E donc (FB,FD) = (FH,FJ) puisque H et J sont les centres des cercles.
    L’égalité (OH,OJ) = (FH,FJ) montre que O est sur le cercle passant par H, F et J.
    On sait que (OF)$\bot$(EF) et que (HJ) est la médiatrice de [EF] donc (OF)//(HJ) et HOFJ est un trapèze isocèle.
    D’où (HO,HJ) = (JH,JF) = (JE,JH) par symétrie autour de (HJ) et donc (HO)//(JE).
    On démontre de même manière (HE,JO) et apparait le parallélogramme EHOJ donc les diagonales [EO] et [JH] se coupent en leur milieu.
    On recommence pour avoir le parallélogramme EIOK et le milieu de [EO] est aussi celui de [JH] et de [IK].
    Naturellement on a aussi le parallélogramme HIJK, (EJ)$\bot$(AB) puisque parallèle à (OH) et (EH)$\bot$(CD). D’autres propriétés apparaissent trop longues à énumérer.

    Document joint : fsp_5.6.14.jpg
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