Figure sans paroles #5.6.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.3

    le 30 mars 2020 à 20:36, par Sidonie

    J’ai d’autres notations

    D’un point E on mène 2 sécantes AB et DC au cercle de centre O. Les cercles ADO et BCO se recoupent en H.
    Il s’agit de démontrer que (EH) et (OH) sont perpendiculaires.
    Soit F et G les points d’intersections entre (AD) et (BC) d’une part et (AC) et (BD) d’autre part.
    Soit I le second point d’intersection entre les cercles ADG et BCG, dont vous démontrâmes que (IO) et (IG) sont perpendiculaires.

    Dans le quadrilatère complet EBCFDA ou ABCD sont cocycliques la droite passant par 2 points parmi E,F ou G est la polaire du troisième par rapport au cercle. chacun des points parmi O,E,F ou G est l’orthocentre du triangle formé par les 3 autres donc (EG) est perpendiculaire à (OH).

    On a aisément FG.FI = FA.FD =FC.FB =FH.FO (merci aux puissances de F)

    G,I,O et H sont cocycliques et à cause de l’angle droit en I (GO) est un diamètre et donc (GH) et (HO) sont perpendiculaires.

    (EG) et (GH) sont toutes deux perpendiculaires à (HO) donc E,G et H sont alignés.

    Document joint : fsp_5.6.3.jpg
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