Figure sans paroles #5.6.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.6

    le 22 avril 2020 à 12:57, par Sidonie

    Je vous propose une autre démonstration, pas plus simple que la votre, mais qui n’utilise pas les résultats précédents.

    J’ajoute N et P les centres des cercles ABE et CDE et sur sur (PE) K l’intersection avec (AB) et L l’intersection avec le cercle CDE.

    (ON) et (OP) sont perpendiculaires à (AB) et (CD) cordes communes à 2 cercles.

    Plusieurs figures étant possibles, j’utilise les angles orientés de droites.

    Dans le cercle ABC : (BE,BK) = (CD,CE) et dans CDE (CD,CE) = (LD,LE)
    (EK,EB) = (EL,ED) puisque les droites (EK) et (EL) sont confondues ainsi que (EB) et (ED)

    (BE,BK) = (LD,LE) et (EK,EB) = (EL,ED) font de BKE et LDE des triangles semblables or comme LE est un diamètre LDE est rectangle donc BKE aussi d’où (PE) $\bot$ (AB) et (PE) // (ON)

    Une même démonstration conduit à (NE) // (OP) et donc NOPE est un parallélogramme.

    OP = NE = NH et ON = PE = PI

    (NO,NH) = (NO,NE) + (NE,NH) = (EP,EN) + 2(EN,EH) = (EP,EH) + (EN,EH) = (EP,EI) + (EN,EI)

    Justification : (NO) // (EP), NEH triangle isocèle, E,H et I alignés.

    (PO,PI) = (PO,PE) + (PE,PI) = (EN,EP) + 2(EP,EI) = (EP,EI) + (EN,EI) = (NO,NH)

    Les triangles ONH et OPI ont un angle égal entre deux côtés égaux , ils sont égaux et OH = OI d’où OHI triangle isocèle.

    (OJ) est la médiatrice de [FG] donc (OJ) $\bot$ (HI) est aussi la médiatrice de [HI].

    [HF] et [GI] sont symétriques par rapport à (OJ) donc HF = GI

    Document joint : fsp_5.6.6.jpg
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