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Figure sans paroles #6.10.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.10.17

    le 18 juillet 2022 à 11:57, par Hébu

    Un triangle $ABC$. On place le point $D$, milieu de $[AC]$, puis sur $(AB)$ un point $E$, et $F$ milieu de $[AE]$.

    On pose alors $G$ sur $(BC)$ et $H$ milieu de $[GC]$. Puis $I$ milieu de $[EG]$ et $J$ milieu de $[EC]$.

    .
    Viennent des cercles. On a le choix pour les deux premiers.

    Mon choix : je trace $c_1$ passant par $F,I,J$, et $c_2$ passant par $D, H,J$. Et j’appelle $K$ l’autre intersection de ces deux cercles.

    Il faut alors montrer que les points $F,H,B,K$ sont cocycliques.

    (compte tenu de cette description, et contrairement à la figure proposée, seul le troisième cercle mérite des pointillés, si l’on se réfère aux usages de cette rubrique).

    .

    La présence des points milieux de segments fabrique des parallèles, en veux-tu en voila : $(FI)//(AG)$, $(GJ)//(AB)$, $(HD)//(AG)$, etc.

    Ce sera une histoire d’angles. On calcule $(KF,KH)=(KF,KJ)+(KJ,KH)$.

    $(KF,KJ)=(IF,IJ)=(GA,GC)=-(GB,GA)$. Et $(KJ,KH)=(DJ,DH)=(AB,AG)$.

    Dans le triangle $BAG$, $((BA,BC)+(GB, GA))+ (AG,AB)=0$

    On mélange, pour obtenir $(KF,KH)=-(GB,GA)+(AB,AG)=-(GB,GA)-(AG,AB)=(BA,BC)$ : ce qui établit la cocyclicité.

    Document joint : idm-6-10-17.jpg
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