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Figure sans paroles #6.10.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

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  • Autres cercles

    le 19 juillet 2022 à 17:04, par Reine

    Bravo ! Et sans supplément de prix, votre démonstration fournit bien plus que ce que suggère la figure proposée : ce ne sont pas seulement trois, pas quatre, ni même cinq, mais bien sept$\,$ cercles qui passent par le point K !

    Au lieu de partir du triangle ABC, considérez que les données sont les quatre points A, C, E et G, et que B n’apparaît que secondairement, comme intersection de AE et CG. Vous avez montré que trois cercles sont concourants : celui qui passe par les milieux de EA, EC et EG, celui qui passe par les milieux de CA, CE et CG, et celui qui passe par les milieux de AE et CG et par l’intersection de AE et CG. Il vous suffit de permuter les rôles joués par A et E pour voir — sans besoin d’argument supplémentaire — que le cercle passant par les milieux de AC, AE et AG passe aussi par K ; et de permuter C et G pour ajouter à votre tableau celui qui passe par les milieux de GA, GC et GE. Et en permutant A et G, vous voyez apparaître celui qui passe par l’intersection de AC et EG et par leurs milieux, puis, en échangeant A et C, celui qui passe par l’intersection de AG et CE et par leurs milieux.

    Ainsi, quatre cercles sont obtenus en joignant un des quatre points aux trois autres, et trois apparaissent en groupant les quatre points en deux paires.

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