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• 6.10.22

  le 25 août 2022 à 12:19, par Reine

  Un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle Q. Un cercle Q${}_1$ est tangent en un point S à la droite AB et en T à CD. La droite ST recoupe BC en un point U et DA en V. (Sur la figure proposée, le quadrilatère est croisé et Q et Q${}_1$ sont sécants ; sur la figure 1 ci-jointe, ABCD est convexe et Q et Q${}_1$ sont extérieurs. C’est sans importance, toutes les configurations conviennent.) Deux propriétés sont suggérées : primo, il existe un cercle Q${}_2$ tangent en U à BC et en V à DA ; et secundo, Q, Q${}_1$ et Q${}_2$ sont trois cercles d’un même faisceau.

  La première propriété est élémentaire, et admet une réciproque : l’existence de Q${}_2$ entraîne en retour la cocyclicité de A, B, C et D. En effet, puisque AB et CD sont tangentes en S et T à un même cercle, on a l’égalité d’angles orientés de droites (BA,ST) = (ST,DC), soit (BC,ST) - (BC,BA) = (ST,DA) - (DC,DA), ou encore (BC,ST) - (ST,DA) = (BC,BA) - (DC,DA). Or l’existence de Q${}_2$ équivaut à la nullité du premier membre, et la cocyclicité de A, B, C et D à celle du second.

  Ces conditions étant dorénavant satisfaites, il reste à vérifier que les trois cercles appartiennent à un même faisceau (à points de base sur la figure proposée, à points limites sur la figure 1). Je noterai Q${}_1$(M) la puissance d’un point M par rapport à Q${}_1$, et de même pour Q${}_2$. Soit W le point de la droite STUV tel que BW soit parallèle à AV (figure 2). Le triangle BUW est isocèle, car (UW,WB) = (UV,VA) = (BU,UW). On peut donc écrire BU/BS = BW/BS = AV/AS, et, en élevant au carré, en déduire que les rapports des puissances$\,$ Q${}_2$(B)/Q${}_1$(B) et$\,$ Q${}_2$(A)/Q${}_1$(A) sont égaux. De proche en proche, on montre de la même façon que le rapport Q${}_2$(M)/Q${}_1$(M) garde la même valeur lorsqu’on prend pour M les quatre points A, B, C et D.

  Pour conclure, il suffit maintenant d’invoquer le théorème que voici : Étant donné deux cercles$\,$ Q${}_1$ et$\,$ Q${}_2$ et un point$\,$ A, l’ensemble des points$\,$ M du plan tels que le rapport$\,$ Q${}_2$(M)/Q${}_1$(M) soit égal à$\,$ Q${}_2$(A)/Q${}_1$(A) est le cercle du faisceau engendré par$\,$ Q${}_1$ et$\,$ Q${}_2$ qui passe par$\,$ A.

  J’ai appris ce théorème il y a bien longtemps, en terminale, dans le chapitre sur les faisceaux de cercles. Peut-être n’est-il pas superflu de rappeler ici comment on peut le démontrer.

  Appelons r le rapport Q${}_2$(A)/Q${}_1$(A), posons $\lambda$ = r/(r$\,$-$\,1$) et $\mu$ = $1$/($1\,$-$\,$r), et, pour tout point M du plan, p(M) = $\lambda\>$Q${}_1$(M) + $\mu\>$Q${}_2$(M). Avec ces notations, la propriété Q${}_2$(M)/Q${}_1$(M) = r se traduit par p(M) = $0$, et l’on a $\lambda+\mu=1$.

  En introduisant les centres O${}_1$ et O${}_2$ des deux cercles, p(M) s’écrit $\lambda\,$MO${}_1^2$ + $\mu\,$MO${}_2^2$ plus des termes constants (c’est-à-dire ne dépendant pas de M). Mais ceci vaut aussi (à des termes constants près) $(\lambda+\mu)\,$MG${}^2$, c’est-à-dire MG${}^2$, où G désigne le barycentre de O${}_1$ et O${}_2$ pondérés par les coefficients $\lambda$ et $\mu$. Et puisque, par hypothèse, p(A) = $0$, on a finalement p(M) = MG${}^2$ - AG${}^2$ pour tout point M ; ainsi, p(M) est la puissance de M par rapport au cercle centré en G et passant par A, et l’ensemble cherché est ce cercle.

  Si maintenant M est un point de l’axe radical de Q${}_1$ et Q${}_2$, Q${}_1$(M) et Q${}_2$(M) sont égaux, et p(M) leur est aussi égal vu sa définition. Les points de cet axe ont ainsi même puissance par rapport aux trois cercles ; ayant deux-à-deux même axe radical, ces cercles font partie d’un même faisceau.

  Document joint : figure-6-10-22.pdf
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