Figure sans paroles #6.10.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.10.3

    le 11 avril à 20:07, par Hébu

    Un cercle, de centre $O$, sur lequel on pose quatre points $A, B, C, D$. Deux cercles, notés $c_1)$ et $(c_2)$, passent par $O, A, B$ et $O, C, D$. $E$ est la seconde intersection de $(c_1)$ et $(c_2)$.

    Il faut montrer l’égalité des angles $(EC,EB)$ et $(EA,ED)$.

    .
    Je trace la médiatrice de $AB$ ; $AB$ est une corde de $(O)$, sa médiatrice passe donc par $O$ ; $AB$ est également une corde de $(c_1)$, la médiatrice est donc un diamètre de $(c_1)$, soit $I$ son intersection avec $(c_1)$, alors $(EI,EO)$ est un angle droit, et $(EI)$ la bissectrice de $(EB,EA)$.

    Même traitement avec la médiatrice de $CD$, qui coupe $(c_2)$ en $J$ : $(EO,EJ)$ est droit et $(EJ)$ est bissectrice de $(ED,EC)$.

    .

    On en déduit l’alignement de $I, E, J$. Et cette droite $(IJ)$ est axe de symétrie : $(EC,EB)$ et $(EA,ED)$ sont égaux.

    Document joint : idm-6-10-3.jpg
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    • 6.10.3

      le 14 avril à 21:49, par Sidonie

      J’espère que vous avez gardé le goût pour les démonstrations alternatives. En voici une basée sur l’inversion i dont le cercle est (o) bien moins agréable que la votre.
      Pour mieux visualiser les droites (EA) et (ED) sont en rouge, (EB) et (EC) en bleu. F est le point d’intersection des 3 axes radicaux (AB), (CD) et (EO). Comme FE.FO est égal à la puissance de F par rapport à (o) E et F sont conjugués par rapport à O.
      (EA) a pour image par i le cercle passant par O (centre d’inversion), par A (point fixe) et par F (image de E).
      Je note (a) ce cercle. De même (b) cercle passant par O, B et F est l’image de (EB). Idem pour (c) et (d).
      (a) et (b) ainsi que (c) et (d) sont symétriques par rapport à (OF)
      Démonstration pour (c) et (d). K est l’autre intersection entre (d) et (o). Les [OD] et [OK] de (d) sont égales, donc interceptés par des angles égaux : (FO) est la bissectrice de (FK,FD) .
      Dans la symétrie autour de (FO) (o) est globalement invariant et (FD) a pour image (FK) d’où C et K sont symétriques par rapport à (FO) et donc (c) = (OCF) est symétrique de (OKF) = (d)
      (a) et (d) sont en rouge (b) et (c) en bleu. Les cercles rouges sont symétriques des bleus par rapport à (OF).
      Il font donc entre eux les mêmes angles et comme l’inversion conserve les angles on retrouve l’égalité pour leurs images et donc (EA,ED) = (EC,EB)

      Document joint : fsp_6.10.3.jpg
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      • 6.10.3

        le 18 avril à 10:26, par Hébu

        Oui, une démonstration alternative, j’achète !

        D’autant que, l’inversion faisant partie pour moi des territoires à découvrir, je vais y trouver matière à réflexion...

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