Figure sans paroles #6.10.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 6.10.5

    le 25 de abril à 12:34, par Sidonie

    Deux cercles sécants en A et B. Une droite passant par B recoupe l’un en C et l’autre en D. Les tangentes en C à l’un et en D à l’autre se coupent en E.
    Il s’agit de prouver que A, C, E et D sont cocycliques.
    (CE) est une tangente donc (CE,CD) = (CE,CB) = (AC,AB) de même (DC,DE) = (DB,DE) = (AB,AD)
    (AC,AD) = (AC,AB) + (AB,AD) = (EC,CD) + (CD,ED) = (EC,ED) d’où la cocyclité cherchée.

    Document joint : fsp_6.10.5.jpg
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    • 6.10.5

      le 26 de abril à 12:32, par Hébu

      Une autre preuve (elle est équivalente, basée sur le calcul des angles), qui montre des propriétés amusantes (!!).

      Je nomme P et Q les centres de mes cercles, et j’appelle H l’intersection de CP et DQ. HE est le diamètre d’un cercle passant par C et D, et le calcul des angles montre que (AC,AD)=(HC,HD): les points A,H,C,E,D sont cocycliques.

      Et puis on peut remarquer aussi que, si la droite (CD) pivote autour de B, le triangle ACD reste semblable à lui-même (et semblable à APQ). Et les points A,H,P,Q sont , eux aussi, cocycliques (le centre du cercle ACDE est sur ce 4ème cercle)

      Document joint : idm-6-10-5.jpg
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      • Merci !

        le 27 de abril à 08:45, par Reine

        Votre analyse enrichit la figure proposée ; ça fait bien plaisir !

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        • Merci !

          le 27 de abril à 14:58, par Hébu

          C’est une remarque que je m’étais déjà faite (une figure précédente, je ne me souviens plus laquelle): une figure contient «en puissance» des éléments qui ne demandent qu’à être révélés, laissant apparaître d’autres figures.

          C’est un peu la même situation (toutes proportions gardées) qu’explorent les oulipiens. Une «géométrie potentielle» qui attend d’être mise à jour…

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