Figure sans paroles #6.10.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.10.5

    le 25 avril à 12:34, par Sidonie

    Deux cercles sécants en A et B. Une droite passant par B recoupe l’un en C et l’autre en D. Les tangentes en C à l’un et en D à l’autre se coupent en E.
    Il s’agit de prouver que A, C, E et D sont cocycliques.
    (CE) est une tangente donc (CE,CD) = (CE,CB) = (AC,AB) de même (DC,DE) = (DB,DE) = (AB,AD)
    (AC,AD) = (AC,AB) + (AB,AD) = (EC,CD) + (CD,ED) = (EC,ED) d’où la cocyclité cherchée.

    Document joint : fsp_6.10.5.jpg
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    • 6.10.5

      le 26 avril à 12:32, par Hébu

      Une autre preuve (elle est équivalente, basée sur le calcul des angles), qui montre des propriétés amusantes (!!).

      Je nomme P et Q les centres de mes cercles, et j’appelle H l’intersection de CP et DQ. HE est le diamètre d’un cercle passant par C et D, et le calcul des angles montre que (AC,AD)=(HC,HD) : les points A,H,C,E,D sont cocycliques.

      Et puis on peut remarquer aussi que, si la droite (CD) pivote autour de B, le triangle ACD reste semblable à lui-même (et semblable à APQ). Et les points A,H,P,Q sont , eux aussi, cocycliques (le centre du cercle ACDE est sur ce 4ème cercle)

      Document joint : idm-6-10-5.jpg
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      • Merci !

        le 27 avril à 08:45, par Reine

        Votre analyse enrichit la figure proposée ; ça fait bien plaisir !

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        • Merci !

          le 27 avril à 14:58, par Hébu

          C’est une remarque que je m’étais déjà faite (une figure précédente, je ne me souviens plus laquelle) : une figure contient « en puissance » des éléments qui ne demandent qu’à être révélés, laissant apparaître d’autres figures.

          C’est un peu la même situation (toutes proportions gardées) qu’explorent les oulipiens. Une « géométrie potentielle » qui attend d’être mise à jour…

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