Figure sans paroles #6.2.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.2.3

    le 25 novembre 2020 à 09:05, par Sidonie

    Je pense au contraire que les deux démonstrations sont fondamentalement différentes et cela tient au théorème de Desargues qui, à l’origine, se déroule en géométrie projective mais se décline en géométrie euclidienne avec quelques cas particuliers.
    A noter que pour son emploi aucun calcul n’est nécessaire, simplement des alignements.
    Sa démonstration elle aussi ne nécessite aucun calcul et je l’ai trouvée si originale lorsqu’on me l’a exhibée en tant qu’étudiante que je me permets de vous la resservir.
    En géométrie projective deux plans distincts sont toujours sécants et deux droites distinctes d’un même plan sont toujours sécantes, d’où les cas particuliers en géométrie euclidienne.
    ABC et A’B’C’ sont deux triangles dans deux plans distincts avec (AA’), (BB’) et (CC’) concourantes en I.
    Les droites (AB) et (A’B’) distinctes et appartenant au plan (ABI) sont sécantes et leur point d’intersection D est alors sur la droite d’intersection des plans (ABC) et (A’B’C’). Il en sera de même avec E et F et l’alignement D, E et F est naturel. Il suffit alors de projeter tous ces points sur un plan, ce qui est fait sur la figure si on oublie les plans bleu et rose, les intersections et les alignements sont conservés et le théorème de Desargues est démontré dans le plan. Les cas particuliers correspondent à (BC)// (B’C’) et dans l’espace le théorème du toit ainsi que les deux plans parallèles qui donnent les côtés des triangles parallèles 2 à2.
    Dans la figure qui nous intéresse on est assuré de l’existence de D,E et F ce qui exclut les cas particuliers.

    Document joint : desargues.jpg
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