Figure sans paroles #6.4.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.4.2

    le 29 mars à 10:38, par Sidonie

    Un petit dessin vaut mieux qu’un long discours.

    Document joint : fsp_6.4.2.jpg
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  • 6.4.2

    le 29 mars à 15:41, par Hébu

    Une autre solution, que je trouve amusante (!)

    .
    Je place C’, D’, symétriques de C, D par rapport à A, B.
    OA et OB sont les médiatrices de CC’ et DD’, A est donc le centre d’un cercle passant par C,C’,D,D’. Et OM est alors médiatrice de CD, donc M son milieu.

    Document joint : fap6-4-2.jpg
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    • 6.4.2

      le 29 mars à 17:01, par Sidonie

      En effet, solution amusante et pourtant profonde avec un cercle de moins.

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    • 6.4.2

      le 15 août à 18:54, par Reine

      J’avoue être larguée ! Autant la figure de Sidonie me convainc, autant ici je suis perdue. Certes, les médiatrices de CC’ et DD’ passent toutes deux par O ; mais pourquoi diable C, C’, D et D’ sont-ils cocycliques ? Peut-être des arguments angulaires ? (Mais on retomberait alors plus ou moins sur ce que propose Sidonie...)

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  • 6.4.2

    le 16 août à 12:44, par Hébu

    Et j’ai bien peur que vous ayez raison... le fait que OA et OB aient même longueur ne suffit pas. Et les arguments à ajouter font à peu près retomber sur la solution de Sidonie

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    • 6.4.2

      le 26 août à 12:21, par Hébu

      Je reste contrarié de la bêtise énorme que j’ai commise... Pour réparer, une petite contribution, en forme de condition nécessaire et suffisante.

      Rien de transcendant, mais ça rend tout ça plus carré.

      .
      La loi des sinus (sur les triangles MDB et MCA) s’écrit

      BD/sin(M)=MD/sin(B) MD/BD=sin(B)/sin(M)
      AC/sin(M)=MC/sin(A) MC/AC=sin(A)/sin(M)

      Les angles en A et B des deux triangles sont supplémentaires : sin(B)=sin(A), donc MD/BD=MC/AC

      D’où la première relation
      (MD=MC) <==> (BD=AC)

      .
      Les triangles rectangles AOC et BOD fournissent un autre élément : l’égalité des côtés $AC$ et $BD$ entraine celle de $OC$ et $OD$, et réciproquement. D’où un troisième élément à la chaine : (MD=MC) <==> (BD=AC) <==> (OC=OD).

      .
      Enfin, les triangles MOC et MOD permettent d’établir la dernière équivalence : l’égalité des longueurs de [MD] et [MC], qui entraine celle de [OC] et [OD], entraine l’égalité des triangles et donc des angles, impliquant l’angle droit en M. Réciproquement, si (MO) et (MC) sont perpendiculaires, la cocyclicité de (O,M,A,C) et (O,B,D,M) entraine l’égalité des triangles MOC et MOD, et donc des segments (c’est l’argument de Sidonie).

      .
      On a donc, finalement, l’équivalence entre les quatre propriétés :

      • [AC] et [BD] ont même longueur,
      • [MC] et [MD] ont même longueur,
      • [OC] et [OD] ont même longueur,
      • (MO) et (MC) sont perpendiculaires.
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