Figure sans paroles #6.4.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.4.2

    le 26 août 2021 à 12:21, par Hébu

    Je reste contrarié de la bêtise énorme que j’ai commise... Pour réparer, une petite contribution, en forme de condition nécessaire et suffisante.

    Rien de transcendant, mais ça rend tout ça plus carré.

    .
    La loi des sinus (sur les triangles MDB et MCA) s’écrit

    BD/sin(M)=MD/sin(B) MD/BD=sin(B)/sin(M)
    AC/sin(M)=MC/sin(A) MC/AC=sin(A)/sin(M)

    Les angles en A et B des deux triangles sont supplémentaires : sin(B)=sin(A), donc MD/BD=MC/AC

    D’où la première relation
    (MD=MC) <==> (BD=AC)

    .
    Les triangles rectangles AOC et BOD fournissent un autre élément : l’égalité des côtés $AC$ et $BD$ entraine celle de $OC$ et $OD$, et réciproquement. D’où un troisième élément à la chaine : (MD=MC) <==> (BD=AC) <==> (OC=OD).

    .
    Enfin, les triangles MOC et MOD permettent d’établir la dernière équivalence : l’égalité des longueurs de [MD] et [MC], qui entraine celle de [OC] et [OD], entraine l’égalité des triangles et donc des angles, impliquant l’angle droit en M. Réciproquement, si (MO) et (MC) sont perpendiculaires, la cocyclicité de (O,M,A,C) et (O,B,D,M) entraine l’égalité des triangles MOC et MOD, et donc des segments (c’est l’argument de Sidonie).

    .
    On a donc, finalement, l’équivalence entre les quatre propriétés :

    • [AC] et [BD] ont même longueur,
    • [MC] et [MD] ont même longueur,
    • [OC] et [OD] ont même longueur,
    • (MO) et (MC) sont perpendiculaires.
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