Figure sans paroles #6.4.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre!

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.4.4

    le 13 de abril de 2021 à 23:04, par Sidonie

    (AC),(AD) et (BE),(BF) sont tangentes au cercle de centre O passant par C,D,E et F. H est le projeté orthogonal de O sur (AB). I et J sont les intersections de (AC) et (BE) et de (AD) et (BF).
    On a alors (HO) bissectrice de (HI,HJ). (ce qui reste à prouver)
    K est l’intersection entre (CD) et (EF), G est l’intersection entre (CE) et (DF), L est l’intersection entre (CF) et (DE), M est l’intersection entre (AC) et (BF), N est l’intersection entre (AD) et (BE).
    Sur la figure les tangentes sont en rouge afin de bien visualiser le quadrilatère complet qu’elles forment. Dans la suite les polaires s’appliquent toutes au cercle de centre O. Il reste qu’à s’appuyer sur le 5.4.13
    K est sur la polaire (CD) de A et sur la polaire (EF) de B donc la polaire de K est (AB). On a alors (OK) perpendiculaire à (AB) et donc O, K et H alignés.
    Par construction, K est sur la polaire de G donc, réciproquement, G est sur la polaire de K, c’est à dire (AB)
    De même, par construction, L est sur la polaire de G. G est sur la polaire de I et de J donc I, J, K et L sont alignés sur la polaire de G.
    La polaire de L est (KG) qui contient aussi M et N dont les polaires (CF) et (DE) passent par L.
    L, I, K et J sont les intersections de la diagonale (IJ) avec les deux autres diagonales (AB) et (MN) du quadrilatère complet cité au début et dessiné en rouge. I et J divisent donc harmoniquement L et K.
    Les droites (HL), (HI), (HK) et (HJ) forment un faisceaux harmoniques et comme (HL) et (HK) sont perpendiculaires elles sont les bissectrices de (HI,HJ).
    Pour la même raison elles sont bissectrices de (HM,HN).

    Document joint : fsp_6.4.4.jpg
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