Figure sans paroles #6.4.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre!

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Pôles et polaires

    le 20 de febrero à 14:38, par Reine

    Oui, ce sont des choses fort simples, du moins pour celles et ceux qui, comme moi, ont été entraînées jeunes à les manipuler. (La transformation « par polaires réciproques », ou « pôles-polaires » figurait au programme du baccalauréat lorsque j’étais en terminale — qui s’appelait alors classe de Mathématiques Élémentaires, mais élémentaire n’est pas synonyme de facile !)

    Le cercle est fixé. Si $M$ est un point du plan (différent du centre), l’ensemble des points conjugués de $M$ par rapport au cercle est une droite, la polaire de $M$. (Si $AB$ est le diamètre passant par $M$, et $N$ le conjugué harmonique de $M$ par rapport à $A$ et $B$, la polaire de $M$ est la perpendiculaire à $AB$ passant par $N$. Si $M$ est extérieur au cercle, la polaire est passe par les points de contact des tangentes issues de $M$. Si $M$ est sur le cercle, sa polaire est la tangente en $M$.)

    Le cercle est toujours fixé. La transformation par polaires réciproques est la bijection entre les points du plan (sauf le centre) et les droites du plan (sauf les diamètres), qui associe à chaque point sa polaire, et, inversement, à chaque droite son pôle (le point dont elle est la polaire). Cette opération permute les deux opérations fondamentales entre droites et points : à deux points on peut associer une droite (celle qui les joint) et à deux droites on peut associer un point (leur intersection) ; ces deux opérations se correspondent par la transformation, le pôle de la droite qui joint deux points étant l’intersection de leurs polaires, et la polaire de l’intersection de deux droites étant la droite qui joint leurs pôles. Les alignements sont donc transformés en concurrences et inversement : des points sont alignés si et seulement si leurs polaires sont concourantes, et des droites sont concourantes si et seulement si leurs pôles sont alignés.

    Ici, en 6.4.4, on part de quatre tangentes $a$, $b$, $c$ et $d$ ; leurs pôles sont quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ du cercle. On construit la droite $e$ joignant ${a\cap c}$ et ${b\cap d}$, alors qu’en 6-4-3 on construisait l’intersection $E$ de $AC$ et $BD$ ; donc $e$ et $E$ sont homologues dans la transformation. En 6-4-4 on considère la projection du centre sur la droite $e$ ; l’homologue de ce point est la perpendiculaire en $E$ à $OE$, tracée en 6-4-3. Le tour de main une fois pris, ça roule tout seul : continuant sur cette lancée, vous trouverez que les deux droites pointillées de 6.4.4 (appelons-les $f$ et $g$) sont les homologues (c’est-à-dire les polaires) de vos points $F$ et $G$ de 6.4.3. Dire que $F$ et $G$ sont symétriques par rapport à $OE$ (ce que vous démontrez en 6-4-3) équivaut donc à dire que $f$ et $g$ sont symétriques par rapport à $OE$ (ce que Sidonie démontre ici).

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