Figure sans paroles #6.4.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre!

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Pôles et polaires

    le 26 de febrero à 08:21, par Hébu

    J’ai essayé de synthétiser et d’illustrer tout ça.

    .
    Le cercle O. Les points A, B, C, D, sur le cercle (fig. 6.4.3 d’origine), ont comme homologues les tangentes en A,B,C,D (droites (a, b, c, d, sur la figure «transformée»).

    La droite (AC), qui connecte A et C, a comme homologue le point AC, intersection de a et c. De même (BD) devient le point BD.

    Le point E, intersection de AC et BD, a comme homologue la droite e, qui joint AC et BD.

    Plus délicat, la droite (e) passant par E, et orthogonale à OE. Son homologue (c’est à dire son pôle) sera sur OE; je le note H. Et puisque H a comme polaire (FG), et E est sur (FG), alors la polaire de E passe par H: donc H est sur e, c’est le projeté orthogonal de O sur e (H, parce que noté H sur la figure de Sidonie).

    Le point F est l’intersection de la droite (FG) avec (AB). Son homologue est donc une droite qui joint AB, homologue de (AB), avec H, homologue de la droite (FG). De même (H-CD) sera l’homologue de G.

    .
    Le dessin auquel on aboutit est identique à 6.4.4. Reste à comprendre comment transformer «EF=EG» en "OH bissectrice de (H-CD,H-AB).

    .
    La droite (f), homologue du point F de la figure 6.4.3, est la polaire de ce point. Si je note d la distance de O à la polaire, et d’ la longueur OF, la division harmonique peut s’écrire $d.d'=R^2$ (R rayon du cercle de centre O).

    Dans la figure 6.4.3, l’égalité des deux segments EF et EG fait de OFG un triangle isocèle, et donc OF=OG. Il s’ensuit, via la remarque ci-dessus, que les droites f et g sont à égale distance de O — et donc que OH est la bissectrice de (HI,HJ) dans la figure 6.4.4

    Document joint : fete_des_polaires.jpg
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