Figure sans paroles #6.4.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre!

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Pôles et polaires (suite)

    le 26 de febrero à 09:16, par Reine

    Par définition même des pôles et polaires, la transformation est respectée par les déplacements et les symétries qui préservent le cercle, c’est-à-dire les rotations autour du centre et les symétries par rapport aux diamètres. Deux points $M$ et $N$ sont à la même distance du centre si et seulement si leurs polaires $m$ et $n$ le sont aussi. (De plus, comme le produit des distances au centre d’un point et de sa polaire égale le carré du rayon, $M$ et $n$ sont à la même distance du centre si et seulement si $m$ et $N$ le sont.) Tout aussi immédiatement, $m$ étant perpendiculaire à $OM$, les angles orientés de droites $(m,n)$ et $(OM,ON)$ sont toujours égaux. (Et même $(OM,n)=(m,ON)$.)

    Vous avez prouvé en 6.4.3 que $OF=OG$, et Sidonie en 6.4.4 que $f$ et $g$ passent à la même distance de $O$. Moyennant une transformation par polaires réciproques, c’est deux fois la même chose !

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