Figure sans paroles #6.4.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.4.4

    le 13 avril 2021 à 23:04, par Sidonie

    (AC),(AD) et (BE),(BF) sont tangentes au cercle de centre O passant par C,D,E et F. H est le projeté orthogonal de O sur (AB). I et J sont les intersections de (AC) et (BE) et de (AD) et (BF).
    On a alors (HO) bissectrice de (HI,HJ). (ce qui reste à prouver)
    K est l’intersection entre (CD) et (EF), G est l’intersection entre (CE) et (DF), L est l’intersection entre (CF) et (DE), M est l’intersection entre (AC) et (BF), N est l’intersection entre (AD) et (BE).
    Sur la figure les tangentes sont en rouge afin de bien visualiser le quadrilatère complet qu’elles forment. Dans la suite les polaires s’appliquent toutes au cercle de centre O. Il reste qu’à s’appuyer sur le 5.4.13
    K est sur la polaire (CD) de A et sur la polaire (EF) de B donc la polaire de K est (AB). On a alors (OK) perpendiculaire à (AB) et donc O, K et H alignés.
    Par construction, K est sur la polaire de G donc, réciproquement, G est sur la polaire de K, c’est à dire (AB)
    De même, par construction, L est sur la polaire de G. G est sur la polaire de I et de J donc I, J, K et L sont alignés sur la polaire de G.
    La polaire de L est (KG) qui contient aussi M et N dont les polaires (CF) et (DE) passent par L.
    L, I, K et J sont les intersections de la diagonale (IJ) avec les deux autres diagonales (AB) et (MN) du quadrilatère complet cité au début et dessiné en rouge. I et J divisent donc harmoniquement L et K.
    Les droites (HL), (HI), (HK) et (HJ) forment un faisceaux harmoniques et comme (HL) et (HK) sont perpendiculaires elles sont les bissectrices de (HI,HJ).
    Pour la même raison elles sont bissectrices de (HM,HN).

    Document joint : fsp_6.4.4.jpg
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    • 6.4.4

      le 14 avril 2021 à 17:25, par Hébu

      Bravo ! Magnifique utilisation des polaires. J’étais resté intrigué par les alignements (par exemple, (CF) et (DE) se croisent en L, (CE) et (DF) en G sur (MN), etc). Mais je crois que tout s’explique, il me faut lire attentivement tout ça...

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      • 6.4.4

        le 14 avril 2021 à 22:37, par Sidonie

        Rien de merveilleux, je me suis contentée d’ utiliser le 5.4.13 puisqu’il suffit d’écarter A et B pour que M passe de l’autre côté du cercle en redonnant la figure du 5.4.13. L’intéressant est le passage de l’un à l’autre, avec deux tangentes parallèles donne au trapèze rectangle une propriété étonnante mais sans grand intérêt.

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    • 6.4.4

      le 22 août 2021 à 19:25, par Reine

      Les propriétés 6.4.3 et 6.4.4 sont équivalentes : on passe de l’une à l’autre par la transformation pôles-polaires. À partir de quatre points A, B, C et D sur le cercle, 6.4.3 fournissait deux points F et G situés à la même distance du centre O ; ici, en 6.4.4, on part de quatre tangentes au cercle pour obtenir deux droites passant à la même distance de O. La correspondance entre les deux situations est obtenue en renommant respectivement (ici, en 6.4.4) a, b, c, d, e, f et g les droites AC, AD, BE, BF, AB, HI et HJ, qui sont les polaires des points qu’Hébu appelait A, B, C, D, E, F et G dans son analyse de 6.4.3.

      Non seulement la propriété 6.4.4 peut ainsi se déduire de 6.4.3 et réciproquement, mais en suivant pas à pas l’argumentation de Hébu pour 6.4.3 on peut la transformer point par point en une preuve de 6.4.4 ; et de même votre démonstration de 6.4.4 peut se transformer en une preuve de 6.4.3. La démonstration de Hébu et la vôtre se correspondent-elles dans cette transformation, ou bien obtient-on ainsi de nouvelles preuves de 6.4.3 et 6.4.4 ? Je n’ai pas regardé...

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      • 6.4.4

        le 19 février à 21:41, par Hébu

        Je relis ce commentaire, mais je dois avouer mon impuissance. Je n’ai pas une grande familiarité avec les manipulations des polaires . On peut effectivement ajouter un pôle et une polaire dans 6.4.3, mais comment en tirer parti après ? Et surtout, le passage 6.4.3 —> 6.4.4 suppose une « transformation » — et là je reste sec. Pouvez-vous commenter ? (c’est sans doute simple, mais...)

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        • Pôles et polaires

          le 20 février à 14:38, par Reine

          Oui, ce sont des choses fort simples, du moins pour celles et ceux qui, comme moi, ont été entraînées jeunes à les manipuler. (La transformation « par polaires réciproques », ou « pôles-polaires » figurait au programme du baccalauréat lorsque j’étais en terminale — qui s’appelait alors classe de Mathématiques Élémentaires, mais élémentaire n’est pas synonyme de facile !)

          Le cercle est fixé. Si $M$ est un point du plan (différent du centre), l’ensemble des points conjugués de $M$ par rapport au cercle est une droite, la polaire de $M$. (Si $AB$ est le diamètre passant par $M$, et $N$ le conjugué harmonique de $M$ par rapport à $A$ et $B$, la polaire de $M$ est la perpendiculaire à $AB$ passant par $N$. Si $M$ est extérieur au cercle, la polaire est passe par les points de contact des tangentes issues de $M$. Si $M$ est sur le cercle, sa polaire est la tangente en $M$.)

          Le cercle est toujours fixé. La transformation par polaires réciproques est la bijection entre les points du plan (sauf le centre) et les droites du plan (sauf les diamètres), qui associe à chaque point sa polaire, et, inversement, à chaque droite son pôle (le point dont elle est la polaire). Cette opération permute les deux opérations fondamentales entre droites et points : à deux points on peut associer une droite (celle qui les joint) et à deux droites on peut associer un point (leur intersection) ; ces deux opérations se correspondent par la transformation, le pôle de la droite qui joint deux points étant l’intersection de leurs polaires, et la polaire de l’intersection de deux droites étant la droite qui joint leurs pôles. Les alignements sont donc transformés en concurrences et inversement : des points sont alignés si et seulement si leurs polaires sont concourantes, et des droites sont concourantes si et seulement si leurs pôles sont alignés.

          Ici, en 6.4.4, on part de quatre tangentes $a$, $b$, $c$ et $d$ ; leurs pôles sont quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ du cercle. On construit la droite $e$ joignant ${a\cap c}$ et ${b\cap d}$, alors qu’en 6-4-3 on construisait l’intersection $E$ de $AC$ et $BD$ ; donc $e$ et $E$ sont homologues dans la transformation. En 6-4-4 on considère la projection du centre sur la droite $e$ ; l’homologue de ce point est la perpendiculaire en $E$ à $OE$, tracée en 6-4-3. Le tour de main une fois pris, ça roule tout seul : continuant sur cette lancée, vous trouverez que les deux droites pointillées de 6.4.4 (appelons-les $f$ et $g$) sont les homologues (c’est-à-dire les polaires) de vos points $F$ et $G$ de 6.4.3. Dire que $F$ et $G$ sont symétriques par rapport à $OE$ (ce que vous démontrez en 6-4-3) équivaut donc à dire que $f$ et $g$ sont symétriques par rapport à $OE$ (ce que Sidonie démontre ici).

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          • Pôles et polaires

            le 20 février à 20:59, par Hébu

            Merci pour cette réponse — un vrai cours ! qu’il me faut lire et approfondir. Pour ma part (j’ai cessé de côtoyer la géométrie en quittant le « cours complémentaire », fin de la 3eme), je tente de combler mes lacunes, ce qui comble mes journées en même temps...

            Bref. Je vais me pencher sur tout cela avec intérêt et gourmandise.

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          • Pôles et polaires

            le 26 février à 08:21, par Hébu

            J’ai essayé de synthétiser et d’illustrer tout ça.

            .
            Le cercle O. Les points A, B, C, D, sur le cercle (fig. 6.4.3 d’origine), ont comme homologues les tangentes en A,B,C,D (droites (a, b, c, d, sur la figure « transformée »).

            La droite (AC), qui connecte A et C, a comme homologue le point AC, intersection de a et c. De même (BD) devient le point BD.

            Le point E, intersection de AC et BD, a comme homologue la droite e, qui joint AC et BD.

            Plus délicat, la droite (e) passant par E, et orthogonale à OE. Son homologue (c’est à dire son pôle) sera sur OE ; je le note H. Et puisque H a comme polaire (FG), et E est sur (FG), alors la polaire de E passe par H : donc H est sur e, c’est le projeté orthogonal de O sur e (H, parce que noté H sur la figure de Sidonie).

            Le point F est l’intersection de la droite (FG) avec (AB). Son homologue est donc une droite qui joint AB, homologue de (AB), avec H, homologue de la droite (FG). De même (H-CD) sera l’homologue de G.

            .
            Le dessin auquel on aboutit est identique à 6.4.4. Reste à comprendre comment transformer « EF=EG » en "OH bissectrice de (H-CD,H-AB).

            .
            La droite (f), homologue du point F de la figure 6.4.3, est la polaire de ce point. Si je note d la distance de O à la polaire, et d’ la longueur OF, la division harmonique peut s’écrire $d.d'=R^2$ (R rayon du cercle de centre O).

            Dans la figure 6.4.3, l’égalité des deux segments EF et EG fait de OFG un triangle isocèle, et donc OF=OG. Il s’ensuit, via la remarque ci-dessus, que les droites f et g sont à égale distance de O — et donc que OH est la bissectrice de (HI,HJ) dans la figure 6.4.4

            Document joint : fete_des_polaires.jpg
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        • Pôles et polaires (suite)

          le 23 février à 12:06, par Reine

          Je regrette de vous avoir écrit, le 20 février, que la transformation par polaires réciproques est une bijection entre des points et des droites. En réalité, on a des objets, qui sont tous les points (sauf le centre) et toutes les droites (sauf les diamètres), et la transformation est une bijection entre tous les objets et tous les objets. Un point est transformé une droite, et inversement, mais la transformation opère à la fois sur tous les points et sur toute les droites. Si vous avez « un point sur une droite », cette figure se transforme en « une droite passant par un point » ; plus généralement, toute figure formée de points et de droites devient une nouvelle figure formée de points et de droites. C’est ainsi que sont échangées 6.4.3 et 6.4.4.

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          • Pôles et polaires (suite)

            le 24 février à 16:51, par Hébu

            Je me débats dans les polaires... Une question me tarabuste. Je comprends le mécanisme de « transformation », et je comprends qu’on puisse le mettre en œuvre , par exemple pour montrer que les diagonales d’un quadrilatère cyclique et celles du quadrilatère tangentiel associé sont concourantes.

            Mais ici, on a besoin d’un « transfert » de propriétés, la symétrie de F-G par rapport à E (fig 6.4.3) se transformant en symétrie entre droites. Le principe de réciprocité ne dit rien sur le sujet ? (je potasse Deltheil et Caire). On peut aussi se poser la question, quid des angles ?

            D’autre part, s’il est simple de voir comment transformer par exemple la droite (AB), ou bien les points A et B, quelle construction nous donne la droite transformée des points F et G définis comme projetés de E (d’où la question ci-dessus quid des angles) ?

            Désolé de vous perturber, avec ces questions (de débutant, sûrement).

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            • Pôles et polaires (suite)

              le 26 février à 09:16, par Reine

              Par définition même des pôles et polaires, la transformation est respectée par les déplacements et les symétries qui préservent le cercle, c’est-à-dire les rotations autour du centre et les symétries par rapport aux diamètres. Deux points $M$ et $N$ sont à la même distance du centre si et seulement si leurs polaires $m$ et $n$ le sont aussi. (De plus, comme le produit des distances au centre d’un point et de sa polaire égale le carré du rayon, $M$ et $n$ sont à la même distance du centre si et seulement si $m$ et $N$ le sont.) Tout aussi immédiatement, $m$ étant perpendiculaire à $OM$, les angles orientés de droites $(m,n)$ et $(OM,ON)$ sont toujours égaux. (Et même $(OM,n)=(m,ON)$.)

              Vous avez prouvé en 6.4.3 que $OF=OG$, et Sidonie en 6.4.4 que $f$ et $g$ passent à la même distance de $O$. Moyennant une transformation par polaires réciproques, c’est deux fois la même chose !

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              • Pôles et polaires (suite)

                le 26 février à 09:20, par Hébu

                Il y a des commentaires qui se croisent...

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                • Pôles et polaires (suite)

                  le 26 février à 09:52, par Reine

                  Je suis désolée d’avoir redit dans mon langage ce que vous veniez de publier dans le vôtre...

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                  • Pôles et polaires (suite)

                    le 26 février à 12:36, par Hébu

                    Pas de souci ! Ce genre de collision est inévitable, évidemment. Et cela m’a permis de vérifier ma bonne compréhension (grâce à vos commentaires )

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