Figure sans paroles #6.4.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Pôles et polaires

    le 26 février à 08:21, par Hébu

    J’ai essayé de synthétiser et d’illustrer tout ça.

    .
    Le cercle O. Les points A, B, C, D, sur le cercle (fig. 6.4.3 d’origine), ont comme homologues les tangentes en A,B,C,D (droites (a, b, c, d, sur la figure « transformée »).

    La droite (AC), qui connecte A et C, a comme homologue le point AC, intersection de a et c. De même (BD) devient le point BD.

    Le point E, intersection de AC et BD, a comme homologue la droite e, qui joint AC et BD.

    Plus délicat, la droite (e) passant par E, et orthogonale à OE. Son homologue (c’est à dire son pôle) sera sur OE ; je le note H. Et puisque H a comme polaire (FG), et E est sur (FG), alors la polaire de E passe par H : donc H est sur e, c’est le projeté orthogonal de O sur e (H, parce que noté H sur la figure de Sidonie).

    Le point F est l’intersection de la droite (FG) avec (AB). Son homologue est donc une droite qui joint AB, homologue de (AB), avec H, homologue de la droite (FG). De même (H-CD) sera l’homologue de G.

    .
    Le dessin auquel on aboutit est identique à 6.4.4. Reste à comprendre comment transformer « EF=EG » en "OH bissectrice de (H-CD,H-AB).

    .
    La droite (f), homologue du point F de la figure 6.4.3, est la polaire de ce point. Si je note d la distance de O à la polaire, et d’ la longueur OF, la division harmonique peut s’écrire $d.d'=R^2$ (R rayon du cercle de centre O).

    Dans la figure 6.4.3, l’égalité des deux segments EF et EG fait de OFG un triangle isocèle, et donc OF=OG. Il s’ensuit, via la remarque ci-dessus, que les droites f et g sont à égale distance de O — et donc que OH est la bissectrice de (HI,HJ) dans la figure 6.4.4

    Document joint : fete_des_polaires.jpg
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