Figure sans paroles #6.4.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.4.5

    le 23 avril à 23:23, par Sidonie

    O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. La tangente en D, diamétralement opposé à A, coupe la droite (BC) en E. (OE) coupe (AB) et (AC) en F et G.
    Il faut prouver que O est le milieu de [FG]
    H et I sont les intersections de (AB) et (AC) avec (DE). L et K sont les projections orthogonales de H et I sur (AC) et (AB).M et N sont les symétriques de D par rapport à B et C. P est l’intersection de (DE) avec la parallèle à (EF) passant par A.
    On considère le triangle AHI. (AD) , (HL) et (IK) en sont les hauteurs.(AD) étant un diamètre, B et C sont les projections orthogonales de D sur (AH) et (AI). On retrouve la figure du 4.1.6 qui permet d’affirmer que M, K, L et N sont alignés et que (KL) est l’image de (BC) dans l’homothétie de centre D et de rapport 2 notée h.
    (AP)//(OE) et DA = 2.DO donc (AP) est l’image par h de (OE) et h(E) = P
    E intersection de (BC) et (OE) a pour image par h l’intersection de (KL) et (AP) donc P est un point de (KL).
    Les droites (HL) et (IK) sont concourantes avec (AD) (3 hauteurs) donc les droites (AH),(AI) et ((AD), (AP) forment par construction un faisceau harmonique (propriété connue des pieds des hauteurs).
    (EO) est une droite parallèle à (AP) qui coupent les 3 autres droites du faisceau en F, G et O donc O est le milieu de [FG].

    Document joint : fsp_6.4.5.jpg
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    • 6.4.5

      le 24 avril à 15:38, par Hébu

      Eh bien ! J’étais parti à tenter de trouver un parallèle entre cette figure et la 6.4.3 (en en faisant un cas particulier où les diagonales se coupent ay centre du cercle...)

      Mais je n’ai rien trouvé. Bravo, jolie construction !

      Répondre à ce message

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