Figure sans paroles #6.4.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

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  • 6.4.5

    le 22 août 2021 à 15:59, par Reine

    On peut aussi s’en tirer avec bien moins de constructions auxilliaires. Je reprends vos notations : $O$ est le centre du cercle circonscrit à un triangle $ABC$, $D$ est diamétralement opposé à $A$ sur ce cercle, la tangente en $D$ au cercle coupe $(BC)$ en $E$ , enfin $(OE)$ coupe $(AB)$ en $F$ et $(AC)$ en $G$. Il ne me faudra qu’un seul autre point, $C'$, diamétralement opposé à $C$ sur le cercle.

    Puisque $O$ est le milieu de $AD$, pour prouver qu’il est aussi celui de $FG$ il suffira de montrer que $DF$ et $AG$ sont parallèles, c’est-à-dire que $F$ est sur $(C'D)$, ou encore que les droites $(OE)$, $(C'D)$ et $(AB)$ sont concourantes. C’est une application immédiate du théorème de Pascal sur les hexagones inscrits, ou plus précisément du cas limite pentagonal où deux sommets de l’hexagone sont confondus, le côté correspondant étant remplacé par la tangente au cercle. Pour l’hexagone $ABCC'DD$, Pascal dit que l’intersection de $(AB)$ et $(C'D)$ est alignée avec $(BC)\cap(DD)$ et $(CC')\cap(DA)$, c’est-à-dire avec $E$ et $O$.

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