Figure sans paroles #6.5.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.5.1

    le 7 mai à 09:45, par Sidonie

    Je rentre dans un domaine cher à Hébu pour lequel je nourris quelque inquiétude.

    La situation s’est déjà présentée auparavant, la figure ne me semble pas nécessaire.

    Je note 1, 2 et 3 les 3 cercles et ij (12, 13 et 23) les droites passant par les points d’intersections des cercles i et j. M est le point d’intersection entre 12 et 13.

    12 et 13 sont les axes radicaux de 1 et 2 et de 1 et 3. M a donc même puissance par rapport à 1, 2 et 3 il est donc sur l’axe radical de 2 et 3 c’est à dire 23.

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    • 6.5.1

      le 7 mai à 21:45, par Hébu

      Pas d’inquiétude à avoir ! Je réussis enfin à émerger — un déménagement, etc. Cela m’a privé 1/ de disponibilité et 2/ de liaison internet. J’ai juste, de loin, apprécié les solutions proposées, sur lesquelles il va me falloir cogiter.

      Pour cette figure, effectivement elle me plait bien, la preuve évoque la preuve de la concourance des bissectrices du triangle !

      De retour donc, avec de l’admiration pour les solutions proposées pour les figures sur lesquelles je n’avais pas d’idées.

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    • 6.5.1

      le 14 septembre à 17:58, par Reine

      C’est net et sans bavure !

      Et les amatrices et amateurs d’orthocentres remarqueront qu’en considérant le cas particulier où les trois cercles ont pour diamètres les trois côtés d’un triangle, on obtient une énième démonstration de l’existence de l’orthocentre d’un triangle.

      Revenant au cas général, cette jolie propriété peut être présentée (ou plutôt illustrée) d’une façon accessible à un niveau bien plus élémentaire, n’utilisant pas la puissance d’un point par rapport à un cercle. Imaginons comme horizontal le plan de la figure, et considérons dans l’espace trois sphères ayant les trois cercles comme équateurs. Deux à deux, ces sphères se coupent selon des cercles verticaux, qui sont vus de dessus comme les cordes communes aux cercles ; et la rencontre des trois droites pointillées résulte de la rencontre des trois sphères.

      Notez cependant que cet argument ne fonctionne que si le centre radical est intérieur aux cercles, mais pas dans le cas illustré par la Figure sans Paroles 6.5.2, et encore moins lorsque les axes radicaux ne rencontrent pas les cercles.

      Document joint : figure-6-5-1.pdf
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      • 6.5.1

        le 14 septembre à 18:24, par Hébu

        Idée d’illustration pour un cours de mathématiques : reproduire la figure en faisant des bulles de savons...

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