Figure sans paroles #6.5.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.5.7

    le 14 juin à 23:18, par Sidonie

    Deux cercles de centres O et P, notés (o) et (p), sécants en A et B ont leurs tangentes communes se coupant en T, les points de tangences étant G, H, I et J. Une droite passant par T coupe (o) en C et E et (p) en D et F, C et D appartenant au segment [EF]. Les tangentes en C et D se coupent en S.
    Il s’agit de montrer que A, B et S sont alignés.
    (AB) est l’axe radical des 2 cercles. (FI) coupe (AB) en K. Grace à Hébu on sait que le cercle de centre Q noté (q) passant par E, F et K est tangent en E et F aux cercles (o) et (p). La tangente commune à (o) et (q) en E coupe (SC) en M et celle de (p) et (q) en F coupe (SB) en N. (EM) et (FN) se coupent en L.
    L’homothétie de centre E qui transforme (o) en (q) transforme C en F et la tangente (CM) en la tangente (FL) donc (CM) // (FL). De même on a (DN) // (EL).
    Les triangles isocèles (à cause des égalités de bras de tangentes) ECM, DFN et EFL sont semblables et tous leurs angles à la base sont égaux.
    Le triangle DCS ayant ses angles à la base égaux est isocèle et donc SC = SD.
    S ayant donc même puissance par rapport à (o) et (p) appartient à leur axe radical (AB).

    Document joint : fsp_6.5.7.jpg
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    • 6.5.7

      le 15 juin à 13:18, par Hébu

      Oui ! Encore une solution à base d’axe radical (ou plutôt d’un mélange homothétie + axe radical) — qui constitue bien le fil directeur de cette série.

      Ce qui me fait penser qu’il devrait exister une solution pour le 6.5.6, à base d’axes radicaux, mais plus raisonnable que celle, trop tirebouchonnée, que j’ai proposée !

      Répondre à ce message

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