Figure sans paroles #6.5.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.5.8

    le 22 juin 2021 à 09:39, par Hébu

    Quatre cercles, de centres $A, B, C, D$, tangents deux à deux.
    On note $H, I, J, K$ les points de tangence de $(A) - (B)$, $(B) - (C)$, $(C) - (D)$, $(D) - (A)$.

    Les cercles $(A)$ et $(C)$ se coupent en $E$ et $F$.

    On note $P$ l’intersection des tangentes extérieures communes aux cercles $(B)$ et $(D)$.

    Il faut montrer l’alignement de $P, E, F$.
    .

    On remarque tout d’abord que le quadrilatère $ABCD$ est circonscriptible, puisque $AB+CD=AD+BC$ (= la somme des quatre rayons des cercles).

    Une propriété intéressante (qu’on a dû rencontrer, il me semble ; voir plus bas au cas où) est que, dans ce cas, les points $H, I, J, K$ sont cocycliques.

    Maintenant, les points $H$ et $K$ sont centres des homothétie qui lient les cercles $(A)$ et $(B)$ d’une part, $(A)$ et $(D)$ de l’autre. La composée des deux opérations envoie $(B)$ sur $(D)$ : c’est l’homothétie de centre $P$, et (cf. la figure 6.5.6) on en déduit l’alignement de $P$, $H$ et $K$.
    .
    Le même argument, appliqué au triplet $(B) - (C) - (D)$, montre que $P, I, J$ sont alignés.

    .
    La puissance de $P$ par rapport au cercle $HIJK$ est $PH*PK=PI*PJ$ : le point $P$ a même puissance par rapport aux cercles $(A)$ et $(C)$. Il est donc sur leur axe radical, $(EF)$

    Cocyclicité de $H,I,J,K$ :

    Les triangles $AKH, DKJ$, etc., sont isocèles, on calcule par différence : $\widehat{JKH}=\pi-(\widehat{DKJ}+\widehat{AKH})=(\widehat{A}+\widehat{D})/2$. De même, $\widehat{CIH}=(\widehat{C}+\widehat{B})/2$, soit $\widehat{JKH}+\widehat{CIH}=\pi$

    .
    Encore une histoire d’axe radical ! (et d’homothétie)
    .

    Document joint : idm6-5-8.jpg
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