Figure sans paroles #6.7.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.7.2

    le 16 août à 12:32, par Hébu

    Un cercle, de centre O et diamètre BC. Depuis un point A extérieur, deux tangentes (AD), (AE). Les droites $(CD)$ et $(BE)$ se croisent au point $F$.

    Et $(AF)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.

    .
    Je note $H$ l’intersection de $(AF)$ et $(BC)$.

    Le calcul des angles permet de montrer qu’il existe un cercle de centre $A$, qui passe par $D,E,F$.
    Ce cercle permet alors le calcul des angles du triangle $BFH$, montrant que l’angle en $H$ est droit.

    1/ Dans le triangle $DFB$, $\widehat{DFB}=\pi-(\widehat{DBF}+\widehat{BDF})$, soit $\pi/2-\widehat{DBE}$.
    Le calcul montre alors que $\widehat{EFD}=\widehat{DAE}/2$.

    (EFD=\pi/2+EBD=\pi/2+EOD/2=\pi/2+(\pi-DAE)/2=\pi-DAE/2) ouf !

    .
    Cela signifie que le point $F$ se trouve sur le cercle de centre $A$, qui passe par $D$ et $E$.

    .
    2/ On calcule $\widehat{BFH}$ :
    $\widehat{BFH}=\widehat{EFA}=\pi/2-\widehat{EAF}/2=\pi/2-\widehat{EDF}=\pi/2-\widehat{EBC}$.

    Ce qui prouve que l’angle en $H$ est droit.

    Document joint : idm6-7-2.jpg
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