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Figure sans paroles #6.7.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

6.7.3

le 23 août à 10:26, par Sidonie

Il s’agit d’une variation sur l’orthocentre. Dans le triangle ABF on trace le cercle de diamètre [AB] qui recoupe (FA) et (FB) en D et E pieds des hauteurs issues de A et B. H est l’orthocentre et G est le 3ème pied. Le cercle passant par D, E et G est le cercle des 9 points passant en outre par les milieux des côtés, dont O milieu de [AB] et par les milieux des segments [HA], [HB] et [HF] ces milieux étant les centres des cercles passant par l’orthocentre, un sommet et les pieds de hauteurs issues des 2 autres sommets dont C milieu de [HF]
(DC,DO) = (EC,EO) = (GC, GO) = 90° donc (CD) et (EC) sont tangentes au cercles de centre O.
D’ où CD = CE = CF
J’ai, bien sûr, raisonné à l’envers mais ça ne pose aucun problème.
Document joint : fsp_6.7.3.jpg
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6.7.3

le 23 août à 11:02, par Hébu

Oui. On pouvait aussi attaquer en calculant les angles (mais c’est moins léger) .
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6.7.3

le 23 août à 11:36, par Hébu

Ma solution à base d’angles (c’est ma drogue)

L’isocélité des triangles OAD et OBE permet le calcul des angles ; (DA,DO)=b, (EO,EB)=c, puis (ED,EO)=(DE,DO)=a.

Et aussi (CD,CE)=2a.
.

Le cercle de centre C qui passe par D et E (C, intersection des tangentes, donc CD=CE)
passe aussi par A (puisque l’angle au centre (CD,CE)=2a). Les rayons CA, CD, CE ont même longueur
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6.7.3

le 23 août à 19:57, par Reine

On peut aussi s’en tirer sans orthocentre et sans autre égalité d’angles que la perpendicularité.

Je suis les notations de Sidonie : O, A, B, D, E et F sont les données ; on appelle H le point intersection de (AE) et (BF), et (C) le cercle de diamètre FH, centré au milieu C de FH. De D et de E, on voit AB, et donc aussi FH, sous des angles droits ; les points D et E sont donc sur le cercle (C), d’où CD = CE = CF.

Mais, par la construction classique de la polaire, H est un point conjugué de F par rapport au cercle (O) donné ; ainsi, le cercle de diamètre FH, c’est-à-dire (C), est orthogonal au cercle (O), et les rayons OD et CD sont perpendiculaires, de même que OE et CE. En d’autres termes, C se trouve sur les tangentes en D et E à (O).
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