Commentaire sur l'article

• 6.7.3

  le 23 août 2021 à 10:26, par Sidonie

  Il s’agit d’une variation sur l’orthocentre. Dans le triangle ABF on trace le cercle de diamètre [AB] qui recoupe (FA) et (FB) en D et E pieds des hauteurs issues de A et B. H est l’orthocentre et G est le 3ème pied. Le cercle passant par D, E et G est le cercle des 9 points passant en outre par les milieux des côtés, dont O milieu de [AB] et par les milieux des segments [HA], [HB] et [HF] ces milieux étant les centres des cercles passant par l’orthocentre, un sommet et les pieds de hauteurs issues des 2 autres sommets dont C milieu de [HF]
  (DC,DO) = (EC,EO) = (GC, GO) = 90° donc (CD) et (EC) sont tangentes au cercles de centre O.
  D’ où CD = CE = CF
  J’ai, bien sûr, raisonné à l’envers mais ça ne pose aucun problème.

  Document joint : fsp_6.7.3.jpg
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• 6.7.3

  le 23 août 2021 à 11:02, par Hébu

  Oui. On pouvait aussi attaquer en calculant les angles (mais c’est moins léger) .

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• 6.7.3

  le 23 août 2021 à 11:36, par Hébu

  Ma solution à base d’angles (c’est ma drogue)

  L’isocélité des triangles OAD et OBE permet le calcul des angles ; (DA,DO)=b, (EO,EB)=c, puis (ED,EO)=(DE,DO)=a.

  Et aussi (CD,CE)=2a.
  .

  Le cercle de centre C qui passe par D et E (C, intersection des tangentes, donc CD=CE)
  passe aussi par A (puisque l’angle au centre (CD,CE)=2a). Les rayons CA, CD, CE ont même longueur

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• 6.7.3

  le 23 août 2021 à 19:57, par Reine

  On peut aussi s’en tirer sans orthocentre et sans autre égalité d’angles que la perpendicularité.

  Je suis les notations de Sidonie : O, A, B, D, E et F sont les données ; on appelle H le point intersection de (AE) et (BF), et (C) le cercle de diamètre FH, centré au milieu C de FH. De D et de E, on voit AB, et donc aussi FH, sous des angles droits ; les points D et E sont donc sur le cercle (C), d’où CD = CE = CF.

  Mais, par la construction classique de la polaire, H est un point conjugué de F par rapport au cercle (O) donné ; ainsi, le cercle de diamètre FH, c’est-à-dire (C), est orthogonal au cercle (O), et les rayons OD et CD sont perpendiculaires, de même que OE et CE. En d’autres termes, C se trouve sur les tangentes en D et E à (O).

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