Figure sans paroles #6.7.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.7.6

    le 13 septembre 2021 à 20:22, par Sidonie

    P, point d’un cercle (O) de centre O, est le centre d’un cercle (P) tangent en T à un rayon (OA) de (O). Les deux cercles se coupent en B et C. (BC) et (PT) se coupent en M.
    Il s’agit de démontrer que M est le milieu de [PT]
    (AO) et (BC) se coupent en D. (DP) coupent (OM) en H, (O) en G et P, (P) en E et F.
    On a (DM) perpendiculaire à (OP) et (PT) perpendiculaire à (OD) donc M est l’orthocentre de ODP et (OH) est perpendiculaire à (DP)
    [GP] est une corde de (O) perpendiculaire en H à un diamètre donc H est le milieu de [GP]
    D est sur l’axe radical des deux cercles, il a donc même puissance, d’où DG.DP = DT² et comme DTP est un triangle rectangle, cette relation métrique assure que (TG) est perpendiculaire à (DP).
    Dans le triangle GPT, la droite (HM) est parallèle au côté (GT) et passe par le milieu du côté [GP] donc M est le milieu du troisième côté [PT]

    Document joint : fsp_6.7.6.jpg
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