Figure sans paroles #6.7.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.7.6

    le 15 septembre 2021 à 10:57, par Reine

    Si l’on cherchait à éviter les éléments potentiels, votre démonstration, dont j’admire la simplicité, pourrait être légèrement modifiée de façon à ne pas en introduire. Vérifier l’égalité des deux puissances peut en effet se faire en n’utilisant que $M$, $P$, $O$ et $T$ : écrivant chacune des deux puissances comme le carré de la distance au centre moins le carré du rayon, on est ramené à vérifier que $MP^2-PT^2$ $=$ $MO^2-OP^2$, et le second membre se simplifie par Pythagore dans les triangles $PTO$ et $MTO$.

    Mais, n’ayant rien, bien au contraire, contre la révélation des éléments latents $Q$ et $S$, je préfère nettement votre argument, plus direct et plus simple. Vous pourriez d’ailleurs le simplifier encore un tout petit chouïa : comme vous établissez que $TQ$ $=$ $TP$ et $TP$ $=$ $TS$, il n’est pas nécessaire de calculer les deux puissances : elles sont égales parce que $MP$ $=$ $MT$ et $MQ$ $=$ $MS$, sans avoir à faire la multiplication. (Et si je l’osais, je me permettrais d’observer que vous auriez ainsi évité une petite étourderie dans l’expression de ces puissances : elles sont négatives.)

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