Figure sans paroles #6.7.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.7.7

    le 22 septembre à 20:59, par Reine

    M’en voudrez-vous si je vous propose une variante ? Elle diffère un peu de votre méthode, tout en restant dans le même esprit.

    On part donc de trois cercles de centres O, P et Q, deux à deux tangents (sur la figure proposée et sur la vôtre, (P) et (Q) sont tous deux tangents intérieurement à (O) ; sur celle que je joins, les trois cercles sont tangents extérieurement. Cela ne change rien, vos arguments comme les miens étant insensibles à la position relative des points.) Les points de contact sont T, C et D. Les tangentes en T, C et D aux trois cercles se rencontrent en un point S équidistant de T, C et D, donc centre du cercle (S) circonscrit à TCD ; les rayons ST, SC et SD de (S) sont les tangentes menées de S aux trois cercles, donc (S) est orthogonal à $\,$(O), à $\,$(P) et à $\,$(Q).

    Les points A et B de (O) respectivement sur les droites DT et CT sont les extrémités d’un diamètre de (O) perpendiculaire à la tangente TS (car, par homothéties de centres D et C, les tangentes à (O) en A et B sont parallèles à TS). Appelant E l’intersection de AC et BD, le segment ET, qui est vu de C et de D sous des angles droits, est un diamètre de (S), et E est donc sur (S).

    Comme ACE et ATD sont deux sécantes à (S) issues de A, les points F (intersection de CD et ET) et B (intersection de CT et ED) sont sur la polaire de A par rapport à (S).

    Les cercles orthogonaux (S) et (Q) se coupant en T et D, QT et QD sont tangentes à (S), et la polaire de Q par rapport à (S) est DT ; le point A, qui est sur DT, est donc conjugué de Q par rapport à (S).

    Ainsi F,B et Q sont tous trois alignés sur la polaire de A par rapport à (S).

    Document joint : figure-6.7.7.pdf
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