Figure sans paroles #6.7.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.7.7

    le 24 de septiembre de 2021 à 10:23, par Reine

    C’est très joli ! En vue d’un éventuel usage ultérieur, j’ai envie de préciser votre remarque sous forme de trois conditions nécessaires et suffisantes.

    1°. — Soit C et C’ deux cercles se coupant en deux points P et Q, et M un point de C. Pour que les deux cercles soient orthogonaux, il faut et il suffit que les points A et B où MP et MQ recoupent C’ soient les extrémités d’un diamètre de C’. Lorsque c’est le cas, AQ et BP sont des hauteurs du triangle MAB, leur intersection N (orthocentre du triangle) est sur C, et MN est le diamètre de C orthogonal à AB.

    2°. — Soit C et C’ deux cercles se coupant en deux points P et Q, et AB un diamètre de C’. Pour que les deux cercles soient orthogonaux, il faut et il suffit que le point M intersection de AP et BQ soit sur C. Lorsque c’est le cas, AQ et BP sont des hauteurs du triangle MAB, leur intersection N (orthocentre du triangle) est aussi sur C, et MN est le diamètre de C orthogonal à AB.

    3°. — Pour que deux points A et B soient conjugués par rapport à un cercle C, il faut et il suffit que, en appelant MN le diamètre de C orthogonal à AB, le point N soit l’orthocentre du triangle MAB.

    Juste un mot pour terminer : La première de ces trois assertions pourrait aussi se démontrer en une ligne, sans séparer nécessité et suffisance, simplement en introduisant l’inversion de pôle M préservant C’. On gagnerait ainsi en concision, mais on perdrait, et ce serait dommage, le caractère élémentaire des arguments.

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