Figure sans paroles #6.7.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.7.7

    le 11 de octubre de 2021 à 14:13, par Hébu

    Belle synthèse, à conserver dans un coin de sa mémoire. Mais, si nos cercles ne sont pas orthogonaux, que se passe-t-il ?

    Je me suis posé la question, et cela amène à une configuration amusante.

    On se donne donc deux cercles de centres C et C’, se coupant aux points P et Q. On prend un point M sur (C), et on appelle A (resp. B) l’intersection de (MP) (resp. (MQ)) avec le cercle (C’).

    J’appelle H l’orthocentre du triangle MAB, et J l’intersection des segments [AQ] et [BP]. Et j’observe comment ce petit monde se comporte, lorsque M décrit (C).

    .
    1/ [AB] est un segment de longueur constante, tangent à un cercle fixe de centre C’.
    1’/ La tangente à (C) au point P est tangente au même cercle.

    P et Q étant fixes, les valeurs des angles (MQ,MP) et (BP,BQ) — et donc (PB,PA) — restent constantes quant M varie. Et (PB,PA)=(MQ,MP)+(BP,BQ)=(PC’,PC).

    Le triangle (C’BA) est isocèle, son angle au sommet est constant, comme ses côtés, de sorte que la hauteur issue de C’ (c’est à dire la distance de C à (AB)) garde la même longueur. D’où le cercle, fixe tangent à (AB)

    Le calcul des angles montre que la tangente en P au cercle (C) est tangente à ce cercle.

    2/ J, intersection de AQ et BP. L’angle (JP,JQ) est constant (il a comme valeur (MB,MA)+2*(BP,BM)
    : J voit le segment PQ sous un angle constant, il décrit un cercle passant par P et Q.

    3/ (MC) et (AB) perpendiculaires. On calcule (MB,MH) et (MQ,MC): ils ont la même valeur (90°-$\widehat{QPM}$).

    4/ Le point H se déplace sur un cercle, de centre C.
    Un peu plus tordu. Pour faire court: il existe une relation, dans un triangle, qui dit que MH=AB/tg($\widehat{BMA}$)

    Puisque tous les termes en sont constants, |MH] a une longueur constante, et donc aussi [CH]

    Document joint : apres677.jpg
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