Figure sans paroles #6.7.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.7.7

    le 21 septembre à 15:34, par Sidonie

    3 cercles de centres O, P et Q, notés (O), (P) et (Q) sont tangents 2 à 2, (P) et (Q) extérieurement en en T , (O) et (P) (resp (Q)) en C et D intérieurement. (AB) est un diamètre de (O). F et H sont les intersections de la tangente commune en T à (P) et (Q) avec (CD) et (AB).
    Il s’agit de démontrer que (AP) et (BQ) passent par F.
    E est le point d’intersection entre (AC) et (BD). G et I sont les points d’intersection de (PQ) avec (EA) et (EB).
    On démontre rapidement que T est l’orthocentre (j’y reste fidèle) de ABE. F étant l’intersection entre la hauteur issue de E et la droite joignant les pieds des 2 autres hauteurs on en déduit que les droites (AE), (AF), (AT) et (AB) forment un faisceau harmonique.
    L’angle droit en C montre que (GT) est un diamètre de (P) et que P est le milieu de [GT].
    (PQ) est parallèle à ( AB) puisque perpendiculaire à (FH).
    Or on sait que dans un faisceau harmonique toute parallèle à une des droites coupent les 3 autres en formant des segments égaux.
    Donc (AF) passent par P et de même (BF) passe par Q.

    Document joint : fsp_6.7.7.jpg
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