Figure sans paroles #6.8.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.8.10

    le 14 décembre 2021 à 17:27, par Reine

    L’inversion qui simplifie la figure en transformant deux des cercles en deux droites parallèles fonctionne tout aussi efficacement ici que pour les Figures sans Paroles 6.8.4, 5, 7, 8 et 9.

    En prenant pour pôle le point de contact entre le grand cercle et l’un des petits, une inversion transforme ces deux derniers en deux droites parallèles (que j’appelle $0$ et $1$ sur la figure ci-jointe), et les cinq autres en une chaîne de cercles $C_i$, de rayons $R_i$, chacun tangent au précédent et à $0$ en un point $T_i$. En outre, $R_2=R_6$, parce que $C_2$ et $C_6$ sont tous deux tangents à $0$ et $1$. Je n’ai pas figuré le pôle d’inversion $P$ ; il se trouve quelque part dans le plan.

    La longueur de $T_iT_{i+1}$ vaut $2\sqrt{R_iR_{i+1}}$ (car c’est un côté d’un triangle rectangle dont l’autre côté est ${|R_i-R_{i+1}|}$ et l’hypothénuse ${R_i+R_{i+1}}$). On en déduit facilement que $\,\overline{\!T_5T_6\!}\,\,/\,\,\overline{\!T_4T_5\!}\,=\,\overline{\!T_3T_2\!}\,\,/\,\,\overline{\!T_4T_3\!}\,$, d’où, en ajoutant $1$ de chaque côté,\[\,\overline{\!T_4T_3\!}\,\;\,\overline{\!T_4T_6\!}\,=\,\overline{\!T_4T_2\!}\,\;\,\overline{\!T_4T_5\!}\,\;.\]

    Les trois droites que cette Figure sans Paroles nous suggère concourantes sont devenues, après l’inversion, la droite $PT_4$ (globalement invariante), le cercle passant par $P$, $T_2$ et $T_5$, et le cercle passant par $P$, $T_3$ et $T_6$. L’égalité établie ci-dessus dit que $T_4$ a même puissance par rapport à ces deux cercles. Mais $P$ aussi (puissance nulle) ; ainsi la droite $PT_4$ est l’axe radical des deux cercles, et passe donc par leur point commun autre que $P$. L’inverse de ce dernier point est alors le point commun cherché.

    Document joint : 6-8-10.pdf
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