Figure sans paroles #6.8.13

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.8.13

    le 4 janvier à 16:47, par Reine

    Cette figure présente, en gras, quatre cercles passant par un même point O. Soient A, B, C et D les intersections autres que O de ces cercles. Les cercles OAB et OCD sont tangents en O ; appelons T leur tangente commune. Sur la figure proposée, les cercles OAC et OBD semblent aussi tangents en O, mais j’ai l’impression que cela n’est pas utile ; sur la figure jointe et dans l’argument ci-dessous, je ne fais pas cette hypothèse.$\,$

    Un cercle (en traits plus fins sur la figure proposée) passant par A et B recoupe respectivement OAC et OBD en des points E et F ; il s’agit de s’assurer que C, D, E et F sont, eux aussi, cocycliques. Cela peut se faire par une chaîne d’égalités d’angles orientés de droites, les étapes étant faciles à justifier par des arguments que je laisse aux lectrices et lecteurs.

    (EC,EF) = (EC,EA) + (EA,EF)

    $\ \ \ \ \ \ $ = (OC,OA) + (BA,BF)

    $\ \ \ \ \ \ $ = (OC,T) + (T,OA) + (BA,BO) + (BO,BF)

    $\ \ \ \ \ \ $ = (DC,DO) + (T,OA) + (OA,T) + (DO,DF)

    $\ \ \ \ \ \ $ = (DC,DF).

    Document joint : figure-6-8-13.pdf
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    • 6.8.13

      le 4 janvier à 18:38, par Hébu

      Etonnant ! J’ai regardé la figure, en la comprenant comme ceci :

      • les cercles OAB et OCD tangents en O
      • les cercles OAC et OBD tangents également en O
      • les droites des centres de ces deux couples orthogonales.

      Et effectivement, ces hypothèses permettent de construire la figure, conforme au modèle. L’hypothèse d’orthogonalité fait que les points A,B,C,D sont alors cocycliques.

      Puis, à la réflexion, j’ai pensé que j’avais peut-être rêvé l’ hypothèse d’orthogonalité — la lecture des figures proposées amène souvent ce genre de perplexité.

      Et effectivement, on retrouve la propriété sans l’orthogonalité !

      Et puis, on peut également oublier la tangence de OAC et OAD, comme Reine le prouve...

      Restent OAB et OCD tangents. Pour le moment...

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      • 6.8.13

        le 4 janvier à 18:57, par Sidonie

        En effet un cercle ne sert à rien.
        2 Cercles (P) et (R) de centres P et R sont tangents en T.
        Un cercle (O) coupe (P) en A et B et (R) en C et D.
        Un cercle (Q) passant par T coupe (P) en E et (R) en F.
        Il faut démontrer la cocyclité de A, E, F et D.
        (AE) est l’axe radical de (P) et (O), (DF) celui de (R) et (O) et la tangente commune en T est celui de (P) et (R), ces 3 axes sont concourants en G.
        On a GE.GA = GT² = GF.GD d’où la cocyclité cherchée.
        J’en profite pour vous présenter mes vœux pour cette nouvelle année ainsi qu’à toute personne qui lirait ce message.

        Document joint : fsp_6.8.13.jpg
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        • 6.8.13

          le 5 janvier à 11:57, par Hébu

          Je ne comprends pas : pourquoi (AE) serait-il l’axe radical de (P) et (O), puisque A est intersection de (P) et (O), mais E celle de (P) et (Q) ?

          Mais, néanmoins, meilleurs vœux !

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