Figure sans paroles #6.8.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.8.4

    le 1er novembre à 19:20, par Sidonie

    Trois cercles (A), (B) et (C) de centres A, B et C sont tangents intérieurement en D ,E et F à un cercle (O) de centre O et tangents 2 à 2 en G, H et I.
    Il s’agit de prouver que les droites (DH), (EI) et (FG) sont concourantes.

    Les droites (AB) et (DE) se coupent en J. Au 6.5.6 il est montré que J est le point d’intersection des tangentes extérieures à (A) et (B). Il est donc le conjugué harmonique de D par rapport à A et B.
    Dans le triangle ABC, les égalités de longueurs font de G, H et I les points de contacts des côtés avec le cercle inscrit. La droite (IH) coupe le côté (AB) en un point qui est le conjugué harmonique de D par rapport à A et B c’est-à-dire J.
    De même, on démontre que (AC) et (GH) d’une part, (BC) et (GI) d’autre part se coupent en l’intersection des tangentes communes à (A) et (C) d’une part et (B) et (C) d’autre part, points par lesquels passent (DF) d’une part et (EF) d’autre part.
    Nous savons depuis le 6.2.3 que ces 3 points sont alignés et donc que les triangles DEF et HIG sont dans la configuration de Desargues avec pour conclusion la concourance de (DH), (EI) et (FG).

    Document joint : fsp_6.8.4.jpg
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  • 6.8.4

    le 2 novembre à 15:11, par Hébu

    « Les droites (AB) et (DE) se coupent en J. Au 6.5.6 il est montré que J est le point d’intersection des tangentes extérieures à (A) et (B). Il est donc le conjugué harmonique de D par rapport à A et B. par rapport à A et B. »

    Je suppose qu’il faut lire « ...Il est donc le conjugué harmonique de G... »

    Mis à part ce lapsus, j’applaudis ! Bravo !

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    • 6.8.4

      le 2 novembre à 23:24, par Sidonie

      D est le nom que portait G dans une précédente figure. Je vous remercie quand même pour votre toujours soigneuse relecture.

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