Figure sans paroles #6.8.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Une autre inversion

    le 22 novembre 2021 à 01:23, par Sidonie

    Autres inversions redonnant quelques résultats démontrés par d’autres méthodes par Hebu et moi-même.
    Dans un cercle (O), 3 cercles (A), (C) et (E) tangents entre eux et tangents à (O) puis 3 autres (B), (D) et (F) tangents à (O) et à deux des trois cercles précédents. G, H, I, J, K et L sont les points de contacts de (A) et (B), (B) et (C), etc . Il faut prouver la cocyclité de ces 6 points.
    M et N sont les points de contact de (O) avec (B) et (E). Les tangentes en M et N se coupent en P. (P) est le cercle de centre P et passant par M et N. On considère l’inversion dont le cercle d’inversion est (P).
    (P) est orthogonal à (O), (B) et (E) qui sont donc leur propre image. (A) est tangent à ces 3 cercles, son image est donc (C). (F) est tangent à (O), (A) et (E) donc son image est (D) tangent (O), (C) et (E).
    On obtient alors des alignements avec P : les 2 tangentes en M et N, (AC), (FD), (GH), (IL), (JK), la droite passant par les points de contacts de (E) avec (A) et (C), ainsi que les tangentes communes de (A) et (C) ainsi que de (D) et(F) soit pas moins de 12 droites. Avec en plus (P) tangente avec (A) et (C)
    Dans l’inversion G donne H, L donne I donc G, H, I et L sont cocycliques de même que G, H, J et K.
    Il suffit de recommencer avec S intersection des tangentes en Q et R de (C) et (F) pour avoir la cocyclité de H, I, J et G qui avec les 2 précédentes donne la cocyclité de G, H, I, J, K et L .
    Pour le 6.8.6 il suffit de remarquer que les tangentes en G et H ont pour bissectrice la médiatrice de [GH] et ainsi de suite pour les 5 autres paires, or les 6 médiatrices sont concourantes au centre du cercle du 6.8.5 qui est donc à la même distance des 6 tangentes. C’est sans doute l’argument de Reine mais il me semble plus clair ainsi.

    Document joint : fsp_6.8.5_et_6.jpg
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