Figure sans paroles #6.8.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.8.6

    le 15 novembre à 18:53, par Reine

    Cette figure est la même que la Figure sans Paroles 6.8.5 de la semaine dernière, qui nous a fait découvrir que les six points de contact marqués ici en noir sont tous sur un même cercle C. Mais l’angle que font entre eux deux cercles sécants est le même aux deux points d’intersection ; c’est pourquoi, de proche en proche, les six tangentes communes en ces six points accentués font toutes le même angle avec C. Elles passent donc toutes à la même distance du centre de C, et sont ainsi tangentes à un certain cercle ayant même centre que C.

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    • Plus précisément

      le 18 novembre à 18:38, par Reine

      Il est possible, sans se fatiguer, de comparer le cercle en pointillé embrassé par les six tangentes (appelons-le C’) à celui de même centre qui passe par les six points noirs (soit C). En effet, l’inversion préservant les angles, l’argument de Bistraque pour la cocyclicité des points noirs (Figure sans Paroles 6.8.5) montre que l’angle entre$\,$ C et les six cercles qu’il coupe reste le même lorsque les proportions de la figure varient,$\,$ puisque c’est aussi l’angle que fait, sur la figure de Bistraque fsp-685.png.jpg, le cercle noir (O) avec chacun des cinq cercles rouges. C’est donc l’angle entre la droite AA’ et la tangente en A au cercle noir, angle dont la tangente vaut $3/2$.

      Quant au cercle C’ de cette figure 6.8.6, tangent aux six droites, il est placé dans le cercle C de la même façon qu’est placé, dans le cercle (O), le cercle centré en O et tangent à AA’ ; ainsi, on lit directement sur fsp-685.png.jpg que le rayon de C’ égale $2/\sqrt{13}$ fois celui de C.

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