Figure sans paroles #6.8.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.8.8

    le 30 novembre 2021 à 09:41, par Reine

    Les sept cercles présentés sur cette figure sont les mêmes déjà rencontrés les trois dernières semaines ; on s’intéresse cette fois-ci à la concurrence de trois nouvelles droites, nommées $PE$, $QF$ et $RG$ sur la figure 1 ci-jointe.

    La méthode proposée par Bistraque pour étudier la Figure sans Paroles 6.8.5 reste tout aussi efficace ici : la magie d’une inversion résout la question en aplanissant toute difficulté, mais aussi en masquant ce qui au fond rattache la conclusion aux hypothèses.

    Effectuons une inversion de pôle $P$ (figures 1 et 2). Les cercles $(A)$ et $(B)$, tangents en $P$, deviennent deux droites parallèles $(a)$ et $(b)$, et les cercles $(C)$, $(D)$, $(E)$, $(F)$ et $(G)$, de centres $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$, deviennent des cercles $(c)$, $(d)$, $(e)$, $(f)$ et $(g)$, de centres $c$, $d$, $e$, $f$ et $g$. (Ces noms sont un peu dangereux ; il faudra se rappeler que, bien que les cercles se correspondent, le point $c$ n’est pas l’inverse de $C$, ni $d$ de $D$, etc.) Puisque $(F)$ et $(G)$ sont tangents entre eux et à $(A)$ et $(B)$, les cercles $(f)$ et $(g)$ sont tangents et coincés entre $(a)$ et $(b)$, donc égaux. Et $(e)$ est le seul cercle tangent à $(a)$, $(f)$ et $(g)$, puis $(c)$ l’unique cercle tangent à $(a)$, $(e)$ et $(g)$ distinct de $(f)$, et de même $(d)$ est forcé à se blottir entre $(a)$, $(e)$ et $(f)$. Ainsi, la figure 2 est contrainte à une conformation bien précise, toujours la même à une similitude près (à l’exception de la position de $P$, qui peut varier). Les points $q$ et $r$ sont bien, eux, les inverses de $Q$ et $R$.

    Le problème se métamorphose en une question sur la figure 2 : montrer que la droite $Pe$ (qui est l’inverse de la droite $PE$ car $P$, $E$ et $e$ sont alignés), le cercle $(u)$ passant par $P$ et $q$ et orthogonal à $(f)$, et le cercle $(v)$ passant par $P$ et $r$ et orthogonal à $(g)$, ont un point commun autre que $P$. Cela équivaut à dire que $Pe$ est l’axe radical de $(u)$ et $(v)$, ou encore que $e$ a même puissance par rapport à $(u)$ et $(v)$.

    Passant par $q$ et orthogonal à $(f)$, le cercle $(u)$ passe aussi par le pied de la polaire de $q$ par rapport à $(f)$ ; soit $h$ ce pied, quelque part sur la droite $qf$. Or il se trouve — je vais y revenir — que le point $e$ est lui aussi sur $qf$. La puissance de $e$ par rapport à $(u)$ est donc le produit $\,\overline{\vphantom{h}\!eq\!}\,\,\,\overline{\!eh\!}\,$. Sa puissance par rapport à $(v)$ vaut de même $\,\overline{\vphantom{h}\!er\!}\,\,\,\overline{\!ek\!}\,$, où
    $k$ est le pied de la polaire de $r$ par rapport à $(g)$, aligné avec $r$, $e$ et $g$ ; et la symétrie de la figure 2 montre immédiatement l’égalité de ces deux puissances.

    Je n’ai pas encore montré que $e$ est sur la droite $fq$ (ainsi que sur $gr$, par symétrie). Cela pourrait bien sûr se vérifier par des calculs de routine sur la figure 2, mais, tant que nous y sommes, il est plus amusant de jouer encore un peu avec la magie de l’inversion. Montrer l’alignement de $q$, $e$ et $f$ se ramène, en revenant à la figure 1, à établir l’existence d’un cercle passant par $P$ et $Q$ et orthogonal à $(E)$ et à $(F)$. Par une permutation circulaire sur $(B)$, $(C)$ et $(D)$ d’une part, et sur $(E)$, $(F)$ et $(G)$ d’autre part, cela revient à montrer qu’il existe un cercle passant par $Q$ et $R$ et orthogonal à $(F)$ et à $(G)$. Réinversons ! On se retrouve à chercher, sur la figure 2, un cercle passant par $q$ et $r$ et orthogonal à $(f)$ et à $(g)$, et la symétrie fait une fois de plus les choses à notre place : le cercle passant par $q$, $r$ et par le point de contact de $(f)$ et $(g)$ répond évidemment à la question.

    Document joint : figure-6-8-8.pdf
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