Parlez-vous maths ?

Les mots en mathématiques : hasard, évènements, espérance et compagnie

Professeur en classes préparatoires ATS pour lui, ancienne professeur en classes préparatoires (MPSI, PC, BL) reconvertie dans l’accompagnement individuel pour elle, nous avons écrit le livre intitulé « Parlez-vous maths » (sous-titre « Le langage mathématique dans tous ses états » ; illustrations Anne Fioc). Ce livre est sorti en novembre 2014, aux Éditions EDPSciences. Étienne Ghys et Fabrice Planchon nous ont fait l’honneur de le lire et Fabrice nous a sollicités pour écrire quelques billets dans cette rubrique. Nous avons accepté avec grand plaisir. Nous nous proposons dans ces billets de reprendre et de développer quelques unes des idées exposées dans notre livre.

Le langage utilisé en théorie des probabilités est composé le plus souvent de mots de notre quotidien…

Poème liminaire

Les probabilités se donnent pour objet de quantifier l’imprévisible, en particulier dans notre vie quotidienne. C’est pourquoi le langage utilisé en théorie des probabilités est composé le plus souvent de mots de notre quotidien, ce qui nous permet d’en jouer comme dans le poème ci-dessus. Le paradoxe des probabilités, c’est que nous pouvons agir maintenant en fonction d’un avenir qui nous est par nature inconnu. On peut penser à nos contrats d’assurance dont le montant est calculé en fonction de « risques » qui ne sont pas des événements futurs certains. Mais même si l’on emploie des mots comme évènements ⁶Nous utilisons la réforme de l’orthographe de 1994, lois, univers, etc., leur sens mathématique ne va pas de soi. Le domaine des probabilités est lui aussi (on pourrait presque dire « tout particulièrement ») sujet à nombreux malentendus. On retrouve ici ce phénomène de décalage avec le français dont nous avons déjà parlé ⁷Voir notre livre « Parlez-vous maths ? » Editions EDP-Sciences.

Hasard

Prenons le mot « hasard », au hasard ! Le CNRTL ⁸Centre National de Ressources Textuelles et Lexicales nous donne comme expressions : « c’est le hasard », « le hasard fait bien les choses », « la part qui revient au hasard », « produit du hasard », … De plus on remarquera que ce terme est étymologiquement associé au jeu ; il signifie, selon les sources “jouer aux dés” ou “jeu de dés”. On parlera de jeu de hasard dans la mesure où le résultat ne dépendra pas de l’habilité des joueurs. On trouve ici un premier malentendu. Car que le dé soit truqué ou non, quand on le lance, le résultat est toujours imprévisible. Néanmoins, on voit que dans les citations, l’idée de hasard est lié à un « hasard » complètement « hasardeux ». Il y a un « hasard » plus « hasardeux » qu’un autre !

Dans un énoncé mathématique, on retrouve cette expression de « au hasard ». Et il faut la comprendre ! Mathématiquement, elle est associée à une « équiprobabilité ». Mais « qu’es aquo » ? C’est là où les mathématiques apportent leur savoir-faire, notamment en précisant le vocabulaire qu’elles utilisent. La théorie des probabilités a développé son langage propre, langage à part dans le monde des mathématiques. Si on commence par jouer sur les mots, pour parler d’« équiprobabilité », il faut que l’on ait plusieurs probabilités et qu’elles soient identiques. Pour cela, la théorie des probabilités introduit un ensemble qui va regrouper toutes les éventualités. En probabilités, on ne parle pas d’« ensemble de toutes les éventualités », mais d’ « univers ». A partir de là, l’« équiprobabilité » correspondra à la situation où chaque éventualité a la même probabilité. Dans l’exemple du jeu de dé, il y a six éventualités, il y a donc équiprobabilité si chaque éventualité (un chiffre de 1 à 6) a une chance sur six (la probabilité 1/6) de se produire. C’est le cas d’un dé « non pipé ». Si ce n’est pas le cas, on n’a pas équiprobabilité, c’est-à-dire que le dé est pipé ⁹Mais comment savoir si le dé est pipé ?. Mais même dans ce cas, si on joue, le résultat sera « au hasard », on peut penser qu’il y a « moins » de hasard, mais il est « au hasard » quand même.

Un cas d’école intéressant est ce qu’on appelle le « paradoxe de Bertrand ». Disons tout de suite qu’il n’y a aucun paradoxe ! On peut énoncer le problème comme suit : « Quelle est la probabilité pour qu’une corde tracée au hasard sur un cercle soit de longueur supérieure à la longueur du côté du triangle équilatéral inscrit dans ce cercle ? » Or il s’avère que l’on peut donner trois réponses à cette question (1/3, 1/2 et 1/4) selon que l’on procède de manières différentes pour choisir « au hasard » une corde sur le cercle. Voir ici pour quelques explications.

Ce n’est donc pas l’expression « au hasard » qu’il faudrait considérer, mais l’expression « choisi au hasard ». Le hasard n’est pas indépendant d’une « procédure » qui le produit, à qui est associé « l’univers », au sens des probabilités.

Une fois « l’univers » défini, en probabilités, on ne parle pas de sous-ensemble, mais d’événement, avec tout un vocabulaire afférent. On ne parle pas de partition, mais de système complet, on ne parle pas d’ensemble vide, mais d’évènement impossible, on ne parle pas d’union disjointe, mais d’évènements incompatibles.

Qu’est qu’un évènement dans la «vraie» vie ? C’est en général un fait important, heureux ou malheureux. Quelque chose qui sort de l’ordinaire. Mais quand on fait des probabilités, du moins au lycée, les évènements considérés n’ont rien de remarquables ! On obtient un nombre pair, on s’intéresse à des bouteilles de jus d’orange pur ou non, etc.. Plus tard, on se contente de lancer des pièces ou tirer des boules dans des urnes, ce qui est un premier pas vers l’abstraction.
Est-ce qu’un évènement remarquable est un évènement dont la probabilité est faible ? Il est à noter, et c’est très paradoxal, qu’un évènement de probabilité nulle peut se produire effectivement ! Ça c’est remarquable ! Bon en fait pas tant que ça…
Par exemple, si on lance une fléchette sur une cible, la probabilité qu’elle arrive en un point (mathématique) précis est un évènement de probabilité nulle. Pourtant, la fléchette arrive bien quelque part ! Parfois même en plein centre.

On introduit ensuite, dans la théorie des probabilités, des « variables aléatoires » qui sont des conséquences chiffrées d’une expérience (par exemple, les gains ou pertes associés à un jeu d’argent). Les évènements deviennent plus abstraits, si on note \({X}\) la variable aléatoire, ils peuvent prendre la forme \({[X > a]}\), \({[a < X < b]}\), etc..

Parlons-en des variables aléatoires ! En effet, une variable aléatoire est une fonction, dont la variable est en général omise dans l’écriture ! Déjà que les concepts de fonctions, de variables, de paramètres ne sont pas toujours clairs pour les élèves, avec “variable aléatoire” on arrive à un niveau de confusion élevé….
L’élève se trouve confronté à une double difficulté : ambivalence du sens des mots français/mathématiques, et, ambivalence mathématiques(probabilités)/mathématiques(analyse), comme dans ce cas du mot variable.

Espérance

Finissons sur une note d’espoir, parlons d’espérance. Ce mot est fort en français. Le CNRTL (encore lui !) donne entre autres : « Sentiment d’attente confiante appliqué à un objet particulier ». C’est plutôt un terme positif. Mais en probabilité, ce n’est ni plus ni moins qu’une moyenne, notion familière à tout élève, et tout adulte par là même, soit en tant que parent, soit en tant qu’ancien élève. Chaque parent espère que la moyenne de son enfant soit élevée ! Combien de parents font des pieds et des mains pour scolariser leur enfant dans un établissement ayant un fort taux de réussite au bac, alors que cela ne prédit en rien le résultat de leur enfant en particulier ! En effet il y a une confusion de langage. L’espérance en français renvoie plutôt à un sentiment personnel. Mon espérance n’est pas forcément la même que la vôtre. Mais l’espérance en probabilité ne dit rien sur le destin particulier de chacun. Au contraire. L’espérance donne des renseignements sur le comportement d’une cohorte, sans distinction de ses membres. Quand on dit que l’espérance de vie est de 80 ans, n’a-t-on pas l’espoir de vivre jusqu’à cet âge-là ? Pourtant, impossible de savoir ce qui va se passer pour soi. De ce fait, la notion d’espérance est souvent mal comprise y compris par des élèves de bon niveau en mathématiques ¹⁰Dans un concours d’écoles d’ingénieurs, un exercice consistait à lancer n boules dans trois tiroirs et à considérer l’espérance de la variable aléatoire égale au nombre de casiers vides. Quand n tendait vers l’infini, cette espérance tendait vers 0. A la question “Interprétez le résultat”, les candidats ont répondu “ la chance d’avoir un tiroir vide devient nulle.” (C’est vrai aussi, mais ça n’est pas la réponse attendue)..

Nous finirons sur une note poétique. Pourquoi se compliquer la vie à étudier le hasard ? Le poète a dit (et « le poète a toujours raison »),