La dernière partie du sujet du bac S 2018 est très probablement inspirée d’une anecdote du célèbre mathématicien hongrois Paul Erdős.
Ce n’est pas tous les ans que l’on peut relier directement un sujet de baccalauréat à des recherches récentes. Un des exercices du bac S (spécialité math.) fait intervenir une notion étudiée par Paul Erdős et d’autres. L’Encyclopédie en ligne des suites d’entiers donne probablement la citation qui est à l’origine du sujet. Voyons d’abord qui sont les héros de l’exercice.
Nombres puissants
Un entier naturel \(n\) est dit puissant (powerful ou squarefull en anglais) si, pour tout diviseur premier \(p\) de \(n\), le carré \(p^2\) divise également \(n\). Cela signifie que dans la décomposition en facteurs premiers de \(n\), tous les exposants sont supérieurs ou égaux à \(2\). Par exemple, \(6125=5^3\times7^2\) est puissant puisqu’il est divisible par le carré de \(5\) et \(7\), qui sont ses diviseurs premiers ; en revanche, \(6615=3^3\times5\times7^2\) n’est pas puissant puisqu’il est divisible par \(p=5\) mais pas par \(p^2=25\). Plus près de nous, si l’on peut dire, \(8=2^3\) et \(9=3^2\) sont puissants.
Plus généralement, si \(a\) et \(b\) sont des entiers, alors \(a^2b^3\) est puissant. En effet, par le lemme de Gauss, si \(p\) est un diviseur premier de \(a^2b^3\), alors c’est un diviseur de \(a\) ou un diviseur de \(b\) (ou les deux) et dans ce cas, \(p^2\) divise \(a^2\) ou \(b^3\) et donc leur produit. Il se trouve que tout nombre puissant peut s’écrire sous cette forme et que l’écriture devient unique si on impose que \(b\) n’est pas divisible par un carré.
Une question «triviale» de Paul Erdős
Paul Erdős (1913-1996) dit avoir rencontré Kurt Mahler (1903-1988) au congrès international des mathématiciens à Oslo (en 1936, donc) 2Voir Some personal and mathematical reminiscences of Kurt Mahler, Austral. Math. Soc. Gaz., 16 (1) (1989), 1-2, cité par Jonathan Sondow dans l’OEIS. :
Je lui ai presque immédiatement posé le problème suivant. Un entier est appelé puissant si \(p\mid m\) implique \(p^2\mid m\); y a-t-il une infinité de nombres puissants consécutifs? Mahler a répondu immédiatement: «Trivialement, oui! \(x^2-8y^2=1\) a une infinité de solutions.» J’étais un peu déconfit parce que je me suis dit que j’aurais dû y penser tout seul.
L’exercice de spécialité consiste à expliquer cette réponse de Kurt Mahler.
Dans la première partie de l’exercice de l’équation de Pell-Fermat suivante, dont les inconnues \(x\) et \(y\) sont des entiers : \[\tag{E}x^2-8y^2=1.\] Géométriquement, il s’agit de trouver les points à coordonnées entières sur l’hyperbole définie par cette équation.
L’énoncé demande d’abord de trouver une solution. Si les solutions \((x,y)=(1,0)\) (\(1^2-8\times0^2=1\)) et \((x,y)=(3,1)\) (\(3^2-8\times1^2=9-8=1\)) n’apparaissaient pas aux candidat⋅e⋅s, il leur suffisait de lire la suite de l’énoncé, qui en donne une infinité [[C’est souvent que pour résoudre une question, on trouve la réponse ou des indications dans la {suite} de l’énoncé. Trop peu d’étudiant⋅e⋅s le savent.]]!
Le but de cette partie consiste à expliciter une infinité de solutions entières. En réalité, l’énoncé donne toutes les solutions positives mais cela ne sera pas démontré. Plus précisément, on définit deux suites par récurrence: \[\begin{cases}x_0=1\\y_0=0\end{cases}\quad\text{et, pour tout}\ n\ge0, \quad\begin{cases}x_{n+1}=3x_n+8y_n\\y_{n+1}=x_n+3y_n.\end{cases}\]
Une récurrence facile montre que tous les termes de ces suites sont strictement positifs (sauf \(y_0\)) et il en résulte que les suites sont strictement croissantes puisque \(x_{n+1}-x_n=2x_n+8y_n > 0 \) et \(y_{n+1}-y_n=x_n+2y_n\) pour tout \(n\). En particulier, tous leurs termes sont distincts.
De plus, tous les couples \((x_n,y_n)\) sont des solutions de \((E)\). On le voit par récurrence en commençant par vérifier la relation valable pour tout \(n\) : \[x_{n+1}^2-8y_{n+1}^2=(3x_n+8y_n)^2-8(x_n+3y_n)^2=x_{n}^2-8y_{n}^2.\]
Étonnant, non?
Mais d'où cela peut-il bien sortir?
On peut se demander d’où vient l’inspiration pour produire des suites qui réalisent un tel miracle! Factorisons tout d’abord \(x^2-8y^2=\bigl(x+2\sqrt{2}\,y\bigr)\bigl(x-2\sqrt{2}\,y\bigr)\). Ce qui est caché (entre autres), c’est que l’on travaille en réalité avec l’ensemble \(A\) des nombres de la forme \(z=x+2\sqrt2\,y\) avec \(x\) et \(y\) entiers. Par exemple, notre solution préférée est associée à \(z_0=3+2\sqrt2\).
L’ensemble de ces nombres est un anneau : la somme et le produit de deux éléments de \(A\) appartient à \(A\). Par exemple, si \(x\) et \(y\) sont entiers: \[\bigl(x+2\sqrt{2}\,y\bigr)\bigl(3+2\sqrt{2}\bigr)=3x+8y+2\sqrt{2}(x+3y).\]On reconnaît là les formules qui définissent \((x_{n+1},y_{n+1})\) en fonction de \((x_n,y_n)\).
Par ailleurs, posons, pour \(x\) et \(y\) entiers, \(N\bigl(x+2\sqrt{2}\,y\bigr)=x^2-8y^2\). Dire que \((3,1)\) est solution, c’est dire que \(N\bigl(3+2\sqrt{2}\bigr)=1\).
La propriété clé, c’est la {multiplicativité} de \(N\) : quels que soient \(x\), \(y\), \(x’\) et \(y’\),
\[N\Bigl(\bigl(x+2\sqrt{2}\,y\bigr)\bigl(x’+2\sqrt{2}\,y’\bigr)\Bigr)=N\bigl(x+2\sqrt{2}\,y\bigr)N\bigl(x’+2\sqrt{2}\,y’\bigr).\]
En prenant \(x’+2\sqrt{2}\,y’=3+2\sqrt2\), on retrouve le fait que si \((x_{n},y_n)\) est solution, c’est-à-dire si
\(N\bigl(x_n+2\sqrt{2}\,y_n\bigr)=1\), alors
\[N\bigl(x_{n+1}+2\sqrt{2}\,y_{n+1}\bigr)=N\Bigl(\bigl(x_n+2\sqrt{2}\,y\bigr)\bigl(3+2\sqrt{2}\bigr)\Bigr)=\]
\[N\bigl(x_n+2\sqrt{2}\,y_n\bigr)N\bigl(3+2\sqrt{2}\bigr)=1\times1=1.\]
Pour tout entier \(x\), son carré \(x^2\) est puissant. Si \(x\) fait partie d’un couple \((x,y)\) de solutions de \(x^2-8y^2=1\), alors \(x^2-1=8y^2=y^2\times2^3\) est de la forme \(a^2b^3\) : par une remarque ci-dessus, cela permet d’en déduire que c’est un nombre puissant.
Ainsi, pour chaque entier \(n\), les nombres \(x_n^2-1\) et \(x_n^2\) sont puissants et consécutifs. Pour en trouver des exemples plus grands que 2018, il suffit de calculer des termes de la suite :
\[(x_1,y_1)=(3,1),\quad (x_2,y_2)=(17,6),\quad (x_3,y_3)=(99,35)\dots\] On en déduit que \(99^2=9801\) et \(99^2-1=9800\) sont puissants. Vérifions pour le plaisir du calcul : \(99^2=(3^2\times11)^2=3^4\times11^2\) et \(9800=8\times35^2=2^3\times5^2\times7^2\) (de tête, puisque \(x_3^2-1=8y_3^2\)).
Les nombres puissants consécutifs sont-ils rares?
Voici les nombres \(m\) plus petits que douze millions tels que \(m\) et \(m-1\) sont puissants. Sont notés en gras ceux qui sont de la forme \(x_n^2\) (on écarte \(1\), même si \(0\) et \(1\) peuvent être considérés comme puissants):
\[\mathbf{9},\quad \mathbf{289},\quad 676,\quad \mathbf{9\,801},\quad 12\,168,\]
\[\quad 235\,225,\quad \mathbf{332\,929},\quad 465\,125,\quad 1\,825\,201,\quad \mathbf{11\,309\,769}.\]
On voit que les nombres auxquels Mahler avait pensé en représentent une forte proportion. Je ne sais pas si cette proportion diminue.
Ce que l’on constate, c’est que les paires de nombres puissants consécutifs semblent se raréfier. Des recherches récentes ont permis de quantifier ce phénomène. Pour cela, notons \(P(x)\) le nombre de paires de nombres puissants consécutifs inférieurs à \(x\). Par exemple, \(P(37)=1\) car la seule paire convenable est \((8,9)\); plus loin, \(P(300)=2\) pour les paires \((8,9)\) et \((288,289)\), etc.
Erdős a conjecturé que \(P(x)\) est majoré par \((\log x)^A\) pour une constante \(A\) convenable. Ce n’est pas démontré à ce jour. Toutefois, Valentin Blomer et Anita Schöbel ont montré que \(P(x)\) était beaucoup plus petit que \(x^{61/180}\). Tsz Chan a montré qu’une conjecture célèbre en arithmétique, la conjecture \(abc\) , avait pour conséquence que \(P(x)\) est négligeable devant \(x^\varepsilon\) pour tout \(\varepsilon>0\). Même avec cette conjecture difficile, c’est loin de l’estimation conjecturée par Erdős!
Addendum (24 juin)
Voici le sujet du bac et un texte pour résoudre l’équation \(X^2-2Y^2=\pm1\) (l’équation \(x^2-8y^2=1\) considérée dans l’article correspond aux solutions avec \(Y=2y\) pair et le second membre positif).
Sujet : s-mathematiques-specialite-2018-metropole-sujet-officiel
Texte : canards
Post-scriptum
Dans l’encyclopédie en ligne des suites d’entiers, Franklin T. Adams-Watters donne une réponse encore plus simple à la question d’Erdős. Il remarque que si \(x\) et \(x+1\) sont puissants, alors \(4x(x+1)\) et \(4x(x+1)+1=(2x+1)^2\) le sont. La suite définie par \(u_0=8\) (correspondant à \(x_1^2=9\) dans le sujet du bac) et, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=4u_n(u_n+1)\) est donc formée de nombres puissants dont le successeur est puissant. Cette suite croît beaucoup plus vite que la suite des \((x_n^2)_{n\in\mathbf{N}}\): après \(8\), les termes suivants sont \(288\), \(332\,928\) et \(443\,365\,544\,448\).
ÉCRIT PAR
Jérôme Germoni
Maître de conférences - Institut Camille Jordan, Université Lyon 1
