Premier défi : le problème du mois
Combien peut-on trouver de rectangles tels que la mesure de chaque côté est un entier et que l’aire vaut le double du périmètre ?
Solution du premier défi
On note \(a\) et \(b\) les dimensions du rectangle, avec \(a\leq b\). On sait que
\[
4a+4b = ab,
\]
ce qui implique que \(4a=ab-4b=b(a-4)>0\), d’o\`u \(a>4\).
Par ailleurs, \(ab=4a+4b\leq8b\), donc \(a\leq 8\).
On peut donc faire la liste des possibilités :
-* si \(a=5\), alors \(b=20\) et on a une première solution;
-* si \(a=6\), alors \(b=12\), ce qui donne une seconde solution;
-* si \(a=7\), alors \(b=\frac{28}{3}\), qui ne peut pas donner une solution;
-* si \(a=8\), alors \(b=8\), ce qui donne une troisième solution
Ainsi, il y a trois rectangles possibles.
Deuxième défi
Dans un club, 40 % des membres sont des hommes.
Parmi les hommes, 35% ont plus de 25 ans.
S’il y a 416 membres masculins de moins de 25 ans, combien y a-t-il de femmes dans ce club ?
Solution du deuxième défi
Comme \(35\,\%\) des hommes ont plus de \(25\) ans, \(65\,\%\) ont moins de \(25\) ans. Donc, si \(h\) désigne le nombre d’hommes,
\[\frac{h\times 65}{100} = 416.\]
Il y a donc \(h=640\) hommes dans le club, ce qui représente \(40\,\%\) de ses membres.
Ainsi, il y a \(\frac{640\times 100}{40}=1600\) membres et \(1600-640=960\) femmes dans le club.
Troisième défi
Reconstituer la multiplication suivante :
$$
\begin{array}{ccccc}
& & \bullet & \bullet & 7\\
& \times & 3 & \bullet & \bullet\\
\hline
& \bullet & 0 & \bullet & 3\\
& \bullet & 1 & \bullet & \\
\bullet & 5& \bullet & & \\
\hline
\bullet &7 & \bullet & \bullet& 3
\end{array}
$$
Solution du troisième défi
Numérotons les six lignes de haut en bas.
On peut commencer à remplir la ligne \(5\) par \(3\times 7=21\) pour voir que cette ligne est \(*51\). Le chiffre des dizaines de la première ligne doit donc, quand il est multipli\’e par \(3\), donner un nombre se finissant par \(5-2=3\).
En regardant la table de \(3\), on voit que ce chiffre est forcément un \(1\) et que la première ligne est \(*17\).
En considérant la table de \(7\), on voit que le chiffre des unités de la ligne \(2\) doit être \(9\) pour avoir un \(3\) comme chiffre des unités à la ligne \(3\).
On peut alors raisonner sur la ligne \(3\) et voir que la première ligne est forcément \(117\) et la troisième, \(1053\). La somme de la colonne \(3\) commence par \(0+1\) et ne peut pas avoir une retenue \(a\) plus grande que \(1\).
Donc la somme \(1+*+5+a=7\) montre que le chiffre des centaines de la ligne \(4\) est \(1\) et donc que la ligne \(2\) est forcément \(319\). On finit alors la multiplication.
\[
\begin{array}{ccccc}
& & 1 & 1& 7\\
& \times & 3 & 1& 9\\
\hline
& 1& 0 & 5& 3\\
& 1 & 1 & 7 & \\
3 & 5& 1 & & \\
\hline
3 &7 & 3 & 2 & 3
\end{array}
\]
Quatrième défi
Il y a deux clans de martiens : les tuku, qui mentent toujours, et les taka, qui disent toujours la vérité.
Un voyageur rencontre trois martiens et leur demande leur clan.
Le premier marmonne quelque chose que personne ne comprend ;
le deuxième répond : « il dit qu’il est un tuku » ;
le troisième dit au deuxième : « tu es un menteur ».
À quel clan appartient le troisième martien ?
Solution du quatrième défi
Il est impossible que le premier martien ait dit « je suis un tuku ». En effet, s’il est un tuku, alors il doit mentir, et donc se dire taka ; et si c’est un taka, il doit dire la vérité. Donc le second martien ment. Le troisième martien dit donc la vérité : c’est un taka.
Cinquième défi
Un grand carré est partagé en \(18\) carrés plus petits, de telle manière que \(17\) d’entre eux ont un côté de \(1\)cm. Quelle est l’aire du grand carré ?
Solution du cinquième défi
On note \(n\) le côté du grand carré et on note \(a\) le côté du petit carré dont on ne connaît pas la longueur du côté.
Puisqu’au moins un des côtés du grand carré est composé de carrés de \(1\,{\rm cm}\) de côté, on observe que \(n\) est un entier.
De la même manière, on constate que \(n-a\) est un entier, donc \(a\) est un entier.
Par ailleurs, la somme des aires des carrés de côté \(1\,{\rm cm}\) vaut \(17\,{\rm cm}^2\) et est égale à l’aire du grand carré moins celle du carré de côté \(a\).
Autrement dit, on a \(n^2-a^2=17\), ce qui donne \((n-a)(n+a)=17\).
Comme \(17\) est un nombre premier, et puisque \(n-a\) et \(n+a\) sont des nombres entiers, la seule possibilité est \(n-a=1\) et \(n+a=17\).
On trouve donc que \(n=9\) et \(a=8\), et l’aire du grand carré vaut \(81\,{\rm cm}^2\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
10h30
1er défi
On a à résoudre en entiers strictement positifs \(ab = 4(a+b)\) donc \(4 \mid ab\). Deux cas peuvent se présenter : soit \(a\) ou \(b\) est divisible par \(4\), disons \(a\) soit l’un est divisible par \(2\) et pas par \(4\) disons \(a\) et l’autre est alors pair.
Cas 1 \(a=4a’\) l’équation devient \(a'(b-4)=b\). Posons \(k=b-4\) alors \(k \mid k+4\) donc \(k \mid 4\) et \(k = 1,2,4\).
Si \(k=1\), \(b=a’\) en reportant \(a=20 , b=5\) et \(100=4(20+5)\).
Si \(k=2\), \(b=2a’\) en reportant \(a=12 , b=6\) et \(72=4(12+6)\).
Si \(k=4\), \(b=4a’\) en reportant \(a=8 , b=8\) et \(64=4(8+8)\).
Cas 2 \(a=2a’ ,b=2b’\) l’équation devient \(a'(b’-2)=2b’\). Comme \(a’\) est impair, \(b’-2\) est pair et également \(b’\) , \(b\) est divisible par \(4\) et on revient au cas 1 en échangeant \(a\) et \(b\).
Il y a au total \(5\) solutions pour \((a,b)\) :\((20,5), (12,6), (8,8), (6,12), (5,20)\).
11h14
1er défi
\(ab = 4(a+b)\)
Si \(a\) et \(b\) ne sont pas de même parité alors l’un est impair et l’autre, disons \(a\) est multiple de \(4\).
Si \(a\) et \(b\) sont de même parité alors \(a+b\) est pair, d’où \(8 | 4(a+b)\) et donc là aussi au moins l’un des nombres, disons \(a\) est multiple de \(4\).
On peut donc poser \(a=4c\), et l’équation se simplifie en \(cb = 4c + b\), d’où \(b = \frac{4c}{c-1}\). Comme \(c-1\) est premier avec \(c\) il doit diviser \(4\), ce qui nous donne \(3\) rectangles :
pour \(c-1 = 1\) on a \(c=2\), d’où \(a=8\) et \(b=8\)
pour \(c-1 = 2\) on a \(c=3\), d’où \(a=12\) et \(b=6\)
pour \(c-1 = 4\) on a \(c=5\), d’où \(a=20\) et \(b=5\)
14h12
1er défi
On cherche n et p tels que np = 4(n+p). avec n largeur et p longueur
np – 4n – 4p = 0
n(p-4) – 4p + 16 = 16
n(p-4) – 4(p -4) = 16
(n-4)(p-4) = 16
16 se décomposant en 1×16, 2×8, 4×4 on trouve n=5 et p=20 ou n=6 et p=12 ou n=p=8
18h27
Très très élégant !
10h26
2e défi
Les 416 membres masculins de moins de 25 ans correspondent à (1−0,35)×0,40=0,26=26 % de l’effectif global.
Les femmes qui représentent 60 % de ce même effectif sont donc au nombre de \(\frac{60×416}{26}\)=960.
9h45
3e défi
le 17 mai à 09:45, par François
117 * 319 = 37 323
11h37
3e défi
ROUX
Sous le 1 va un autre 1 à l’aide de 3∗7. On a une retenue de 2 et il faut un 5 : ce 5 peut venir de 5 ou 15 par 2+3 ou 2+13. On ne garde évidemment que 2+3.
A gauche du 7 va donc un 1.
Sous le 7 va un 9 pour le 3 de 7∗9=63 qui offre une retenue de 6.
9∗1 avec la retenue de 6 impose un 5 à gauche du 3 et donne une retenue de 1.
Comme il faut un 0 à la gauche du 5, seul un 1 à la gauche du 1 convient par 9∗1+1=10 qui fournit un 1 à la gauche du 0.
Pour avoir le 1 sous le 0, seul un 1 entre le 3 et le 9 est possible.
Alors vient :
oo117
oo319
o1053
o1170
35100
37323
15h25
4e défi
On peut remarquer d’emblée que personne ne peut dire : « Je suis un tuku ». Cela revient à dire : « Je mens ». Or, les takas, qui disent toujours la vérité, ne mentent pas, et les tukus, qui mentent toujours, ne diront pas la vérité. Chacun prétendrait être un taka, que cela soit vrai ou pas.
Par conséquent, le deuxième martien, en faisant une telle déclaration, ment donc, et est un tuku. Le troisième, en le traitant de menteur, dit la vérité et est donc un taka.
(Remarquons, pour être complet, que l’identité du premier martien ne peut être définie).
8h51
5e défi
Soit a le côté du grand carré et b le côté du dix-huitième petit carré. Alors a2=17+b2, ce qui donne a2−b2=17, puis (a−b)(a+b)=17. Comme 17 est premier la seule factorisation qu’il admet est 17=1×17. En supposant que a et b sont entiers on obtient :
a−b=1
a+b=17
L’addition de ces équations donne 2a=18, soit a=9, et on en déduit ensuite b=a−1=8.
On peut effectivement paver un carré de côté 9 avec un carré de côté 8, bordé par exemple par une bande de 8 petits carrés de côté 1 à l’ouest, une autre bande de 8 petits carrés au nord, et le dix-septième petit carré dans le coin nord-ouest.
Ainsi l’aire du grand carré est a2=92=81 .
18h20
5e défi
Cherchons le côté du grand carré et appelons-le g. Appelons c le côté du 18ème carré. La mesure des 17 petits carrés est de 17 * 1 = 17 cm². Alors nous avons :
g² = c² + 17 ; g² – c² = 17 ; (g + c)(g – c) = 17
Comme 17 est un nombre premier, la seule solution est 17 pour (g + c) et 1 pour (g – c). Par conséquent g = 9 et c = 8.
9² = 8² + 17
Ce qui est correct. L’aire du grand carré est ainsi de : 9² = 81 cm².