Défi de la semaine : problème du mois
Les rayons \([AO]\) et \([OB]\) sont perpendiculaires, \((MN)\) est parallèle à \((AB)\), \(MP=\sqrt{56}\,{\rm cm}\) et \(PN=12\,{\rm cm}\). Combien mesure le rayon du cercle ?
.
Solution du quatrième défi de juillet 2024
\(A\) est le chiffre des unités de \(3D\). \(E\) est la somme du chiffre des unités de \(3D\) et du chiffre des dizaines de \(3D\). Comme \(0\leq D\leq 9\), on sait donc que \(E=A+1\) ou \(E=A+2\).
Si \(E=A+1\), alors le chiffre des dizaines de \(3D\) est \(1\) et celui des unités de \(3B\) est \(7\), donc \(B=9\). Par conséquent, \(3D+2=10+D\), ce qui donne \(D=4\) et donc \(F=1\). En conclusion, l’addition est
\[
\begin{array}{ccccc}
& 4 & 9 & 4 & 4\\
& 4 & 9 & 4 & 4\\
+ & 4 & 9 & 4 & 4\\
\hline
1 &4 & 8 & 3 & 2
\end{array}
\]
Si \(E=A+2\), alors le chiffre des dizaines de \(3D\) est \(2\) et le chiffre des unités de \(3B\) est \(6\), donc \(B=2\). Mais, dans ce cas, \(D\) est aussi le chiffre des unités de \(3D\), qui est \(A\), ce qui n’est pas possible car, par hypothèse, \(A\neq D\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
14h46
Le triangle \(POQ\) est isocèle et rectangle en \(O\) donc le théorème de Pythagore donne \(PQ^2 = OP^2 + OQ^2 = 2 OP^2\), d’où \(OP^2 = \frac{PQ^2}{2}\) et \(OP = \frac{PQ}{\sqrt{2}} = – \frac{PQ}{cos(\frac{3\pi}{4})} \).
De plus l’angle en \(P\) est \( \frac{\pi}{4}\), donc dans le triangle \(OPM\), l’angle en \(P\) est \( \frac{3\pi}{4}\). Pour \(OPM\) la loi des cosinus s’écrit alors \(OM^2 = OP^2 + PM^2-2OP.PM.cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{PQ^2}{2} + PM^2 +2PQ.PM \).
Or \(PQ = PN – QN = PN – PM\) puisque \(PM = QN\). Donc :
\(OM^2 = \frac{(PN – PM)^2}{2} + PM^2 +2(PN – PM)PM = \frac{PN^2 + PN.PM – PM^2}{2}\)
\(OM^2 = \frac{12^2 + 24 \sqrt{56} – 56}{2}\)
\(OM = 2\sqrt{11 + 6\sqrt{14}} = 11,6 \) environ.
10h42
Petite coquille à la ligne 4 : $cos({3 \pi \over 4}) = -{\sqrt2 \over 2}$
D’où un facteur 2 erroné à la ligne 8.
On obtient avec votre méthode : $OM^2 = {{PN^2 + PM^2} \over 2}$
Ce qui permet bien de retrouver le résultat de François.
18h28
\(OP= \frac {PQ} {\sqrt{2}} = \frac {12-\sqrt{56}} {\sqrt{2}}
\widehat{\vec{OP}\vec{PM}}=\frac {\Pi} {4}
R^2=OP^2+PM^2+2OP*PM*\cos(\frac {\Pi} {4}) =100\)
D’où \(R = 10\)