Premier défi
Un concours de mathématiques est composé de \(20\) questions. Huit points sont accordés pour chaque réponse correcte et cinq points sont perdus chaque mauvaise réponse. Si un problème reste non résolu, cela vaut zéro point. Si l’on a obtenu \(13\) points, combien de problèmes a-t-on résolus ?
Solution du premier défi
Réponse : On a résolu 6 problèmes.
Soient \(p\) le nombre de problèmes qu’on a résolus et \(n\) le nombre de problèmes pour lesquels la réponse était incorrecte.
On a alors \(8p-5n=13\), soit encore \(8(p-1)=5(n+1)\).
Donc \(n+1\) est divisible par \(8\). Puisque \(n\leq 20\), on a \(n+1\leq 21\), donc les possibilités pour \(n+1\) sont \(8\) et \(16\).
Si \(n+1=8\), alors \(n=7\) et \(p=\frac{13+5\times 7}{8}=6\).
Si \(n+1=16\), alors \(n=15\) et \(p=\frac{13+5\times 15}{8}=11\).
Mais \(15+11=26>20\), donc la seule solution possible est \(n=7\) et \(p=6\).
Deuxième défi
Si l’on effectue le produit de tous les nombres impairs entre \(7\) et \(2023\) inclus, quel est le chiffre des unités du résultat ?
Solution du deuxième défi
Réponse : \(5\)
Il faut commencer par remarquer que, lorsqu’on multiplie un nombre impair par \(5\), le résultat se termine par \(5\), puisque si \[n=2k+1,\] alors \[5n=5(2k+1)=10k+5.\]
Le nombre que l’on cherche à calculer est \[X=(7\times 9\times 11\times 13\times 17\times \cdots \times 2023)\times 15\] \[= (7\times 9\times 11\times 13\times 17\times \cdots \times 2023)\times 3\times 5.\]
Puisque le produit de nombres impairs est un nombre impair,
\(Y=(7\times 9\times 11\times 13\times 17\times \cdots \times 2023)\times 3\) est impair.
Donc \(X=Y\times 5\) se terminera par \(5\).
Troisième défi
Dans le triangle rectangle \(ABC\), \([AD]\) est la hauteur issue de \(A\), \(BD= 3\,\textrm{cm}\) et \(DC=12\,\textrm{cm}\). Que vaut l’aire du triangle ?
Solution du troisième défi
Réponse : L’aire du triangle vaut \(45\,\textrm{cm}^2\).
Notons \(h\) la longueur de la hauteur \([AD]\).
On a \(\widehat{ACD}=90-\widehat{DAC}=\widehat{BAD}\), donc les triangles \(ABD\) et \(CAD\) sont semblables. D’où
\[
\begin{eqnarray*}
\frac {BD}{AD}&=&\frac{AD}{CD}\\
AD^2 &=& BD\times CD\\
h^2 &=&3\times 12=36
\end{eqnarray*}
\]
Donc \(h=6\,\textrm{cm}\) et l’aire du triangle vaut \(\frac{15\times 6}{2}=45\,\textrm{cm}^2\).
Quatrième défi
Tous les nombres à sept chiffres qui s’écrivent en utilisant les chiffres \(1\), \(2\),\(\cdots\), \(7\) une seule fois sont donnés dans l’ordre croissant. Déterminer la position du nombre \(3\,654\,712\).
Solution du quatrième défi
Réponse : le nombre \(3\,654\,712\) est en position \(2009\).
Puisque les nombres sont dans l’ordre croissant, tous les nombres qui commencent par \(1\) ou \(2\) se trouvent avant \(3\,654\,712\) et il y en a \(2 \times 6!\).
Également, les nombres qui commencent par \(3\) et dont le deuxième chiffre est \(1\), \(2\), \(4\) ou \(5\) se trouvent avant, et il y en a \(4 \times 5!\).
De même, en raisonnant sur les nombres commençant par \(36\) et dont le troisième chiffre est \(1\), \(2\) ou \(4\), il y a encore \(3 \times 4!\) nombres avant notre nombre.
En continuant compter suivant ce procédé, on montre qu’il y a au total \[(2 \times 6!)
+ (4 \times 5!)+ (3 \times 4!) + (2 \times 3!) + (2 \times 2!)=2008\] nombres avant le nôtre. Ainsi, le nombre \(3\,654\,712\) est en position \(2009\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
16h02
1er défi
Bonjour,
Un examen exhaustif de tous les cas possibles (merci Excel) permet de trouver que le nombre de réponses correctes est 6, ( et 7 mauvaises réponses).
8×6 – 5*7 = 13
16h09
1er défi
On peut poser :
8x-5y=13
Avec x= nbre de bonnes réponses
y= nbre de mauvaises réponses
Et on sait que
x+y≤20 ;
x≤20 ;
y≤20
5y étant un nombre finissant pas 5 ou 0, il faut que 8x soit un nombre qui finisse par 8 ou 3 pour respecter 8x-5y=13.
Dans la table des 8 (jusque 20 puisque x≤20), on trouve 8×1, 8×6, 8×11, 8×16.
Seul 8×6 convient et dans ce cas y=7.
Donc 6 bonnes réponses
16h15
2e défi
Bonjour,
Le produit d’un nombre quelconque de nombres impairs est lui même impair.
Si au moins l’un des facteurs de ce produit est un multiple de 5, le résultat est également un multiple de 5, quels que soient le nombre et la valeur des autres facteurs.
Entre 7 et 2023 les multiples de 5 ne manquent pas !
Le résultat cherché est donc 5
9h19
3e défi
D’abord, j’homothétise le triangle d’un facteur \(1/3\).
Ensuite, \(AD\), je l’appelle \(x\).
L’aire du triangle \(ABC\) de hauteur \(AB\) est égale à la somme des aires des triangles \(ADB\) et \(ADC\) de hauteurs \(x\) et \(x\).
\(AB.AC=5.x\).
Je passe tout ça au carré et \(AB\) et \(AC\) étant des hypoténuses, j’obtiens in fine :
\(x^4-8.x^2+16=0\) dont l’unique solution réelle positive est \(x^2=4\) ou \(x=2\).
L’aire du triangle homothétisé est donc égale à \(5.2/2=5\).
12h06
3e défi
Soit S(ABC)=S(ABD)+S(ADC)
AD=x ; AB=y ; AC=z
S((ABC)=S=yz/2
S((ABD)=S1=3x/2
S(ADC)=S2=12x/2
Appliquons Pythagore sur S1 et S2
y=√(x²+3²) ; z=√(x²+12²)
Remplaçons y et z par leur valeur dans S1 et S2,
S=S1+S2
=> √(x²+3²)(x²+12²)=(3x/2)+(12x/2)
Soit x⁴-72x²+1296=0
x=6
S=(15×6)/2=45
13h32
3e défi
Notons \(x = AD\)
Les triangles \(ADB\) et \(CDA\) sont semblables, alors \(\displaystyle\frac{AD}{BD} = \displaystyle\frac{CD}{AD}\).
Ce qui revient à \(\displaystyle\frac{x}{3} = \displaystyle\frac{12}{x}\).
ou encore \( x^2 = 36\). Donc \(x = 6\).
L’aire de ABC est \(\displaystyle\frac{x \times 15}{2} = 45\).
16h47
3e défi
Comparaison moyenne géométrique et moyenne arithmétique
En conservant les notations ci-dessus AD^2 = BD*CD d’où AD est la moyenne géométrique de BD et CD.
Le triangle rectangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre BD+CD .
D’où la corde de longueur 2*AD <= diamètre BD+CD ou AD<= (BD+CD)/2.
16h54
Très élégant !!!
8h54
4e défi
A vue de nez : 2×6 ! + 4×5 ! + 3×4 !+ 2×3 ! + 2*2 ! + 1 =2009
18h54
bien trouvé mais je crois qu’il manque le premier terme 1234567, il faut rajouter +1 donc la position est 2010ème
18h55
oups. Vous avez raison, le +1 y ’est, c’est bien 2009.