— Vous faites de la recherche en mathématiques ? Mais, tout n’a-t-il pas été trouvé en mathématiques ?
Ces questions sont adressées à une mathématicienne (il en existe quelques-unes dans la profession) que nous nommerons, pourquoi pas, Christiane.
— (Christiane) Vous aimez comprendre comment votre appareil photo ou votre grille-pain fonctionnent. Pour cela, vous le démontez et vous découvrez les mécanismes cachés. Parfois, vous admirez un mécanisme ingénieux. D’autres fois, vous pensez que vous feriez mieux que l’ingénieur qui a conçu l’objet. Dans notre profession, nous faisons de même.
— Pouvez-vous me donner un exemple ?
— (Christiane) Vous envoyez votre numéro de carte de crédit sur Internet. Il est encodé pour ne pas pouvoir être lu par des espions qui intercepteraient la communication. La recette de l’encodage est publique. Je vous l’explique sur un exemple simple.
Un exemple simple d'encodage
Je prends deux nombres premiers, par exemple \(97\) et \(103\), et je calcule leur produit
\[97\times 103=9991,\] que j’appelle la clé.
Je vous communique la clé \(9991\), ainsi que le nombre \(5\) dont vous vous servirez pour l’encodage.
Votre carte de crédit a le numéro \(1234\).
Pour crypter le numéro, je vous demande de calculer le nombre \(1234^{5}\), ce qui donne \(2861381721051424\), et ensuite de trouver
le reste de la division de ce grand nombre par la clé, \(9991\).
Comme \[2861381721051424 = 9991\times 286395928440+ 7384,\]
le reste vaut \(7384\). Bien sûr, ce calcul est un peu long et il vaut mieux utiliser un ordinateur. Ce reste, \(7384\), est le numéro crypté que vous me transmettez.
Pour retrouver votre numéro de carte de crédit, je calcule \(7384^{3917}\) que je divise par \(9991\). Le reste de la division est précisément le nombre \(1234\), soit le numéro de votre carte de
crédit que j’ai récupéré!
Les nombres \(9991\) et \(5\) que je vous ai transmis sont publics. C’est pourquoi cette technique de cryptage s’appelle la cryptographie à clé publique ou code RSA. Par
contre, l’exposant \(3917\) que j’ai utilisé est connu de moi seule. Mais, je peux vous expliquer la méthode pour le calculer: elle est simple (et publique) dès que vous aurez trouvé les facteurs \(97\) et \(103\) de \(9991\). Dans notre exemple, il est facile de factoriser \(9991\). Mais, si je prends de plus grands entiers premiers (par exemple 150 chiffres chacun) et que je les multiplie, aucun ordinateur, si puissant soit-il, n’est encore capable de retrouver les deux entiers à partir de leur produit.
Le code RSA date de 1978. Depuis plus de trente ans, mathématicien(ne)s et informaticien(ne)s savent que la gloire les attend s’ils(elles) réussissent à programmer un ordinateur pour qu’il factorise de grands nombres qu’ils(elles) ont eux-mêmes construits à l’ordinateur. Mais, le code RSA résiste toujours…
— Je ne comprends pas. Je sais multiplier ces deux nombres premiers et j’ai aussi appris à factoriser un nombre.
— (Christiane) Supposez que vous ayez deux bobines de fil de canne à pêche. Il vous est facile de les emmêler en une grosse pelote. Mais cela vous prendra sûrement beaucoup plus de temps pour les démêler…
— Mais, lorsqu’il a vu le nœud gordien, Alexandre a eu l’idée de le trancher avec son épée. Ne pourrait-on faire de même ?
— (Christiane) Bravo ! Vous commencez à faire de la science. Et l’histoire moderne commence à ressembler à celle d’Alexandre. Dans l’histoire moderne, Alexandre a essayé de trancher le nœud gordien avec son épée, mais l’épée s’est cassée et il en a commandé une plus robuste. À l’atelier, on teste de nouveaux matériaux. Pour le code RSA, le mathématicien Shor a trouvé comment factoriser rapidement de grands nombres … mais, sur un ordinateur quantique, qui n’existe pas encore… La commande est donc passée aux physiciens qui cherchent…
— Mais, peut-être qu’Alexandre, au lieu d’attendre son épée robuste, pourrait essayer une autre méthode ? Par exemple, chauffer le nœud ? Ou le plonger dans l’acide ?
— (Christiane) Eh oui ! Vous avez tout compris. Pendant que les physiciens cherchent, les mathématicien(ne)s cherchent …
