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Défi de la semaine
L’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure \(17 cm\) et son périmètre est de \(40 cm\). Quelle est son aire ?
Solution du 2e défi de février 2023
La réponse est : \(45 cm^2\).
Les petits carrés sont de côté 1cm, donc celui en haut à droite est de côté \(3 cm\). On en déduit que les deux du bas sont de côté \(2 cm\)et, enfin, que le grand carré est de côté \(5 cm\). Le grand rectangle mesure 9cm sur 5cm et son aire est de\(45 cm^2\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
8h43
Si les côtés du triangle sont \(a\),\(b\),\(c\), alors son périmètre est \(p=a+b+c\), d’où :
\(a+b=p-c\)
\((a+b)^2 = (p-c)^2\)
\(a^2 + b^2 + 2ab = (p-c)^2\)
\(2ab = (p-c)^2-(a^2 + b^2)\)
Si \(c\) est l’hypothénuse alors \(a^2+b^2=c^2\) d’après le théorème de Pythagore, donc :
\(2ab= (p-c)^2 – c^2=((p-c)-c)((p-c)+c)=(p-2c)p\)
L’aire du triangle est donc
\[\frac{ab}{2}=\dfrac{(p-2c)p}{4}=\frac{(40-2\times 17)\times 40}{4}=60\]
9h12
Les côtés du triangle rectangle sont \(a\), \(b\) et \(c\) où \(c\) est l’hypoténuse.
\(a^2+b^2=17^2\) par Pythagore.
\(a+b=40-17=23\) par périmètre.
\(2ab=23^2-(a^2+b^2)\) par une identité remarquée.
Comme la surface du triangle rectangle est \(ab/2\) il vient que cette surface est égale à \((23^2-17^2)/4=60\)
18h53
On pouvait également poursuivre le raisonnement et calculer la longueur des 2 côtés de l’angle droit :
1) données :
H : l’hypoténuse (= 17 cm),
P : le périmètre (= 40 cm),
a et b : les deux autres côtés
2) calcul de l’aire :
a² + b² = 17²
H = 40 – (a + b)
17 = 40 – (x + y)
a + b = 40 – 17
a + b = 23
(a + a)² = 23²
a² + b² + 2ab = 23²
=> système :
| équation #1 : a² + b² + 2ab = 23²
| équation #2 : a² + b² = 17²
équation #1 – équation #2 : 2ab = 23² – 17²
2ab = 529 – 289
2ab = 240
ab = 120
aire = 120/2 = 60 cm²
3) calcul de la longueur de a et de b :
(méthode en passant par une équation du 2e degré)
ab = 120 = P (produit)
a + b = 23 = S (somme)
x² – Sx² + P = 0
x² – 23x² + 120 = 0
delta = 23² – 4*1*120 = 529 – 480 = 49
sqrt(49) = 7
x’ = (-(-23) + 7)/2 = 30/2 = 15 = a
x » = (-(-23) – 7)/2 = 16/2 = 8 = b
ab = 120 = 15*8
a + b = 23 = 15 + 8
4) vérification :
sqrt(8² + 15²) = sqrt(289) = 17 <--- Ok ! :-))