A mort les maths

Le 29 août 2011  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (12)
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La scène se passe dans une école primaire à la fin des années 1970.
Un inspecteur demande à un petit garçon combien font $2+5$, à quoi le
petit garçon répond que $2+5$ font $5+2$ parce que l’addition est commutative.
Horreur de l’inspecteur qui déclare que les maths modernes font que les enfants
ne savent plus compter [1] et arrêt de mort desdites maths.
Cette réaction pose une question assez intéressante au niveau de la formation
des enfants. Il est clair que si le but de ladite formation est un formatage
uniforme, la seule réponse correcte à la question inquisitoriale est $7$.
Par contre, tout mathématicien sait bien
que $0$ peut s’écrire de plein de manières
différentes et que le choix de la bonne écriture est une forme d’art :

Je me souviens du plaisir ressenti quand on m’a expliqué, en classe de seconde,
que l’on pouvait écrire [2]
$0=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$
pour montrer que \[x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}= (x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\] ne peut jamais être nul (si $x$ est réel).

Je ne compte plus le nombre de fois
que j’ai utilisé l’astuce diabolique que l’on m’a indiquée
en classe de première, et qui consiste à écrire
$0=-f(x)g(x_0)+f(x)g(x_0)$, pour obtenir
la formule $f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)=f(x)(g(x)-g(x_0))+g(x_0)(f(x)-f(x_0))$
à partir de laquelle on peut prouver que le produit de deux fonctions
dérivables est dérivable et calculer la dérivée du produit.

Notes

[1La scène prend une autre saveur si
on sait que le petit garçon en question était fils de deux mathématiciens,
n’avait pas la langue dans sa poche, et poursuit à l’heure actuelle
une brillante carrière de mathématicien.

[2J’étais au printemps à Chicago
et je discutais avec Vladimir Drinfeld de la quasi-absence de mathématiciens
américains. Il m’a dit qu’il fallait bien admettre que l’enseignement
des maths dans ce pays (les États-Unis) était un peu bizarre :
il avait découvert par hasard, en ouvrant le cahier de son fils, que l’on
donnait à apprendre par coeur les formules pour la résolution de
l’équation du second degré et la symétrie de la parabole sans jamais
faire compléter le carré (deux recettes indigestes en place d’une jolie idée...).
Rentré en France, je suis allé voir les
nouveaux programmes de seconde,
et voila ce que l’on y lit dans la colonne commentaires :
Les résultats concernant les variations
des fonctions polynômes de degré 2
(monotonie, extremum) et la propriété
de symétrie de leurs courbes sont
donnés en classe et connus des élèves,
mais peuvent être partiellement ou
totalement admis.
Savoir mettre sous forme canonique
un polynôme de degré 2 n’est pas un
attendu du programme
. Deux éminents collègues américains
semblent penser qu’il faudrait même complètement supprimer
l’étude de l’équation du second degré vu que la plupart des gens
n’auront jamais à en résoudre dans leur vie extrascolaire.

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «A mort les maths» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

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  • A mort les maths

    le 17 septembre 2011 à 23:06, par François Sauvageot

    Je suis d’accord que la réponse de l’enfant est une provocation (pédante sans doute). Elle n’est drôle (ou impertinente, c’est selon) que si l’on part de l’idée qu’il connait aussi la réponse attendue. L’anecdote prouve en ce sens que ce gamin en savait plus que ce qui était attendu.

    Ce que j’aimerai attester et connaitre plus en détail, c’est la réaction de l’adulte. Non pas vis-à-vis de l’enfant, mais ensuite. Voire lui demander ce qu’il s’est passé, à lui.

    Pour revenir aux astuces diaboliques, elles sont le reflet de la polysémie. Si l’aire d’un rectangle privé d’un autre n’est plus au goût du jour (en partie parce que la géométrie n’est plus en vogue et en partie parce qu’étrangement le développement des maths fait aussi que peu de monde continue à penser à un produit comme étant évidemment une surface ... comme le prouve l’expression « au carré »), on peut y penser autrement.
    J’en ai une vision certes plus sophistiquée, mais qui est évidemment une autre façon de dire la surface, à savoir les déterminants. Personnellement je ne peux pas voir un ad-bc sans imaginer un déterminant et je pense que la façon la plus agréable (pour moi) de voir la dérivée d’un produit ou le passage au quotient dans un anneau est d’écrire
    \[\det\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)=\det\left(\begin{array}{cc}a-b&b\\c-d&d\end{array}\right)...\]

    François Sauvageot.

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